Funciones de Mathieu

Las funciones de Mathieu son funciones matemáticas especiales que son soluciones periódicas de la ecuación de Mathieu. Se utilizan para resolver varios problemas de física matemática , en particular, para describir el movimiento ondulatorio con condiciones de contorno elípticas, para estudiar el fenómeno de resonancia paramétrica , para estudiar oscilaciones no lineales en varias secciones de física teórica y experimental, etc.

Ecuación de Mathieu

La ecuación de Mathieu es una ecuación diferencial de la forma (forma canónica):

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0,

donde y son los parámetros de los que depende el comportamiento de la solución (estable o inestable), esta dependencia se ilustra mediante el diagrama de Ains-Strutt . $a$ $q$

Soluciones a la ecuación de Mathieu

Según el teorema de Floquet, siempre hay soluciones a la ecuación de Mathieu en la forma: , donde tiene un período . Con estas soluciones son periódicas con un periodo y se llaman funciones de Mathieu . Se designan como: . Las funciones de Mathieu se pueden representar como sumas de cosenos o senos: donde las cantidades son funciones de las cantidades en la ecuación de Mathieu. Los valores se pueden obtener sustituyendo la solución de la ecuación de Mathieu en forma de expansión en serie de Fourier en la ecuación e igualando términos semejantes. $y(x)=\exp(\mux)\phi(x)$ $\fi (x)$ $2\pi$ $\mu=0$ $2\pi$ ${\ Displaystyle \ mathrm {ce} _ {0} (x), \ mathrm {ce} _ {1} (x), \ mathrm {se} _ {1} (x), \ mathrm {ce} _ {2} }(x),\mathrm {se} _{2}(x),...}$ $\mathrm {ce} _{2n}(x)=\sum_{k}A_{k}\cos 2kx,\mathrm {ce}_{2n+1}(x)=\sum_{k} }B_{k}\cos(2k+1)x,\mathrm {se}_{2n}(x)=\sum_{k}C_{k}\sin 2kx,\mathrm {se}_{2n+ 1 }(x)=\sum_{k}D_{k}\sin(2k+1)x,$ $A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$ ${\ estilo de visualización a, q}$ $A_{k},B_{k},C_{k},D_{k}$

Véase también

ecuación de la colina

Literatura

Matthews J., Walker R. Métodos matemáticos en física. Por. de English, M., Atomizdat , 1972, 392 páginas.
Ecuación de Mathieu , EqWorld