Acción (cantidad física)

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Acción
$S=\int L(q,\;{\dot {q)],\;t)~\mathrm {d} t$
Dimensión	L 2 MT -1
Unidades
SI	Js_ _ _
SGA	ergio s_ _
notas
escalar

La acción en física es una cantidad física escalar , que es una medida del movimiento de un sistema físico . La acción es un funcional matemático que toma como argumento la trayectoria de un sistema físico y devuelve como resultado un número real .

La acción es una de las magnitudes físicas fundamentales, que se incluye en la formulación moderna de la mayoría de las teorías físicas básicas en todas las secciones fundamentales de la física, teniendo también gran importancia en la física teórica . Puede ser de menor importancia en áreas relativamente más aplicadas, aunque a menudo también se usa allí. Se usa igualmente en física cuántica, clásica y relativista .

En mecánica clásica , el principio de mínima acción postula que un sistema físico siempre sigue la trayectoria con la mínima acción.

En mecánica cuántica , en la formulación de la teoría en términos de integrales de trayectoria , un sistema físico sigue simultáneamente todas las trayectorias posibles, y la amplitud de la probabilidad de seguir una determinada trayectoria está determinada por la acción de esta trayectoria. Si la acción característica es mucho mayor que la constante de Planck , entonces la amplitud de la trayectoria clásica con la menor acción es dominante, por lo que la mecánica cuántica se vuelve clásica.

La acción tiene la dimensión física energía · tiempo = cantidad de movimiento · distancia , que coincide con la dimensión de cantidad de movimiento . Según el significado físico, la acción es la fase de la " onda de probabilidad " cuántica, más precisamente, es proporcional a esta fase (debido a una dimensión diferente en los sistemas tradicionales de unidades físicas (incluido el SI )): - con una coeficiente dimensional constante - constante de Planck . $S = \hbar\varfi$

Si se escribe una acción para algún sistema , entonces esto, en principio, determina tanto su comportamiento clásico (es decir, el comportamiento del sistema en la aproximación clásica) como su comportamiento cuántico. El primero es a través del principio de acción estacionaria (mínima), el segundo es a través de la integral de trayectoria de Feynman. Al mismo tiempo, la acción en sí está escrita de la misma manera, en la misma forma, tanto para el caso clásico como para el cuántico, lo que la convierte en una herramienta muy conveniente (para la cuantificación a través de la integral de Feynman, en principio, solo necesita conocer la acción definida para trayectorias clásicas ordinarias, es decir, escrita de la misma forma que para la aplicación clásica).

Terminología

Históricamente, la terminología ha fluctuado bastante, pero ahora se acostumbra llamar a la cantidad acción

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\dot {q)),\;t)\,dt

S=\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum_{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg)}\,dt,

dónde:

$t$ - tiempo,
${\displaystyle q=\{q_{1},\;q_{2},\;\ldots,\;q_{N}\))$ es el conjunto completo de coordenadas que caracterizan el sistema dinámico (su espacio de configuración ),
${\dot {q}}=\{{\dot {q}}_{1},\;{\dot {q}}_{2},\;\ldots,\;{\dot { q}}_{N}\}$ es un conjunto de velocidades ( derivadas del tiempo), $q$
$L$ - Función de Lagrange , en función de coordenadas, velocidades, ya veces incluso explícitamente del tiempo, en mecánica clásica coincidiendo con la diferencia entre energías cinética y potencial; $norte$ $norte$
$H$ es la función de Hamilton , que es la energía total del sistema, expresada en términos de coordenadas, sus momentos conjugados y, a veces, incluso explícitamente en términos de tiempo. $norte$ $norte$

Ambas cantidades coinciden en principio, pero se expresan de manera diferente: la primera de acuerdo con el formalismo lagrangiano , la segunda de acuerdo con el hamiltoniano . $S$

Una acción abreviada se llama

S_{0}=\int \limits_{A}^{B}\sum_{i}p_{i}\,dq_{i}=\int \limits_{t_{1}}^{ t_{2}}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}\,dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\ vec {p}}\cdot {\vec {v}}\,dt,

donde la notación coincide con la utilizada anteriormente, y la expresión en la última integral es el producto escalar de los vectores momento y velocidad, que en el caso de una sola partícula puede considerarse en el sentido newtoniano habitual.

En general, en esta sección, por y nos referimos a coordenadas generalizadas (que no necesariamente coinciden con las coordenadas cartesianas), velocidades generalizadas correspondientes a estas coordenadas y momentos conjugados canónicamente a estas coordenadas. En un caso particular, pueden elegirse en forma de coordenadas cartesianas, entonces (en mecánica) los impulsos correspondientes son los componentes habituales de los impulsos vectoriales de los puntos materiales del sistema. $q_{i},\ {\dot {q}}_{i}$ $Pi}$

Para sistemas distribuidos (por ejemplo, para campos o continuos elásticos ), la acción generalmente se puede escribir como:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\dot {q)),\;x,\;t)\,dVdt

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg)}\,dVdt,

dónde

${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ son las densidades de las funciones de Lagrange y Hamilton, respectivamente,
$X$ - un punto en el espacio ocupado por un medio o campo (a menudo - espacio tridimensional ordinario ),
$dV$ es el elemento de volumen de este espacio,
${\ estilo de visualización q_ {i}, \ p_ {i}}$ son los valores de coordenadas generalizadas (por ejemplo, desplazamientos de un medio elástico o, para un campo, una variable de campo, como, por ejemplo, potencial electromagnético) e impulsos generalizados para un punto dado de un sistema distribuido (medio o campo). $X$

La integración se realiza tanto en el espacio como en el tiempo. El número total de coordenadas e impulsos que describen el sistema, como vemos, es infinito en este caso, ya que su número es finito para uno solo , y el conjunto mismo es infinito. ${\ estilo de visualización q_ {i}, \ p_ {i}}$ $X$ $X$

Resumen general

Desde un punto de vista moderno, la acción tiene el significado de la fase de la función de onda (sin embargo, se expresa tradicionalmente - para una conexión más directa con la mecánica clásica - en otras unidades, y específicamente , donde - acción, - fase en radianes y - constante universal de Planck ). $S = \hbar\varfi$ $S$ $\varphi$ $\hbar$

La física clásica (mecánica y teoría de campos) es una aproximación de alta frecuencia y onda corta de la física cuántica, cuando las fases de onda son muy grandes ( ), lo que significa que bajo las condiciones experimentales dadas (“clásicas”) (dimensiones características, momentos y energías características del problema bajo consideración), las correcciones cuánticas a la teoría clásica serán bastante pequeñas (en la práctica, la mayoría de las veces son tan pequeñas que no son detectables experimentalmente). En este caso, el problema cuántico en su conjunto se simplifica mucho, pasando al clásico, y se puede utilizar el principio de mínima acción y/o la ecuación de Hamilton-Jacobi , en la que la acción sigue jugando un papel fundamental. ${\ estilo de visualización S/\ hbar \ gg 1}$

En física cuántica, por otro lado, cuando se resuelve el mismo problema sin una condición , la acción juega un papel particularmente importante en el formalismo de la integral de trayectoria de Feynman. Además, algunos de los resultados de la teoría clásica de campos se trasladan bastante directamente en cierto sentido al caso cuántico, y dado que la acción es uno de los objetos más simples, las manipulaciones con ella (y, sobre todo, la escritura misma del acción para un sistema dinámico dado (un campo, una partícula, campos o partículas que interactúan u otros objetos) son a menudo una de las herramientas más efectivas para formular la teoría cuántica de varios campos, incluso si no implica escribir y trabajar con el integral de trayectoria explícitamente. ${\ estilo de visualización S/\ hbar \ gg 1}$

Historia

Maupertuis en las obras de 1740 (?) , 1741 - 1746 formuló por primera vez el principio de mínima acción para la mecánica y sugirió que se trata de una ley universal de la naturaleza, interpretando la óptica ( principio de Fermat ) en términos de acción (utilizó lo que ahora se denomina comúnmente acción abreviada ). Maupertuis se inclinó por la interpretación teológica de este principio que, en su opinión, testimoniaba una cierta perfección del mundo creado por Dios.

Incluso durante la vida de Maupertuis, estos trabajos suyos fueron apoyados y desarrollados por Euler , quien también desarrolló el cálculo de variaciones , lo que hizo posible realizar de manera más efectiva las ventajas del principio.

Lagrange luego , en Mécanique analytique, publicado en 1788 , desarrolló la aplicación del principio de mínima acción en mecánica, utilizando el cálculo de variaciones e introduciendo coordenadas generalizadas. También introdujo en 1795 el método de los multiplicadores indefinidos , que permite mejorar significativamente el uso del principio de mínima acción en problemas con restricciones .

La acción de una partícula de movimiento rápido ("relativista") se corrigió (en comparación con la antigua versión newtoniana-lagrangiana, cuyo alcance son los movimientos que son lentos en comparación con la velocidad de la luz ) a principios del siglo XX, para el primera vez que esto se hizo explícitamente, aparentemente por Planck en 1907 [1] , también en este sentido se pueden mencionar los trabajos de Minkowski ( 1907 ) y Born ( 1909 ) [2] . Para una partícula puntual libre, tomó la forma de un intervalo (longitud - tiempo propio - en el espacio-tiempo de Minkowski ) a lo largo de la línea universal (trayectoria espacio-temporal) de una partícula con el signo opuesto, reemplazando la expresión newtoniana habitual en rápido mecánica de partículas. Por lo tanto, el principio de acción mínima para partículas relativistas conduce al tiempo propio máximo posible a lo largo de la trayectoria.

En 1915 Hilbert , usando el método variacional con respecto a la acción de Einstein-Hilbert, recibió las ecuaciones correctas del campo gravitatorio en la teoría general de la relatividad . En este caso, quizás, por primera vez, se aprovechó la ventaja de la simplicidad del enfoque en tal completitud, partiendo de escribir una acción escalar (invariante) a partir de consideraciones generales (cuya forma explícita no se conoce de antemano), y luego obtener las ecuaciones de movimiento para el campo (ecuaciones de campo) variando este funcional.

A principios del siglo XX , Planck , Bohr , Sommerfeld , Schwarzschild y otros utilizaron la acción (generalmente una acción abreviada) para formular tempranamente la teoría cuántica, que desde el punto de vista moderno es una especie de aproximación semiclásica , que resultó ser ser muy adecuado para describir problemas clave como el oscilador armónico y un átomo con órbitas de electrones circulares y elípticas (al menos en el caso más simple, el átomo de hidrógeno). La regla de cuantización, muy utilizada en esta etapa del desarrollo de la teoría cuántica, se redujo a la cuantización de una acción acortada en órbitas cerradas de acuerdo con la condición

\oint \sum p_{i}\,dq_{i}=n\hbar

o (en coordenadas cartesianas para una partícula): .

\oint {\vec p}\cdot {\vec {dr}}=n\hbar

Louis de Broglie ( 1923-1924 ) utilizó este formalismo para formular sus afirmaciones sobre la naturaleza ondulatoria del electrón y de las partículas materiales en general.

Un papel importante en la sustanciación de la forma moderna de la mecánica cuántica (en el sentido de clarificar su relación con la clásica) fue desempeñado por la ecuación de Hamilton-Jacobi , que trata de la acción en función de las coordenadas y el tiempo , teniendo ya una forma cerca de la forma de la ecuación básica de la mecánica cuántica, la ecuación de Schrödinger , y que se encuentra en esto es esencialmente su límite clásico.

Feynman desarrolló el método de integración de trayectorias en mecánica cuántica ( 1938 ), que reformuló la mecánica cuántica de tal manera que utilizaba orgánicamente el funcional de acción clásico, y la diferencia entre la descripción cuántica completa y la clásica se reducía a la necesidad de sumar los cantidad sobre todas las trayectorias concebibles (y no solo una trayectoria clásica o cercana a ella). Este formalismo es uno de los más populares en la física teórica moderna de altas energías, encontrando aplicaciones (junto con la técnica de los diagramas de Feynman) en otras áreas de la física, así como en las matemáticas puras. Posteriormente ( 1949 ), Feynman desarrolló el método de los diagramas de Feynman , estrechamente relacionado con la integración de trayectorias, aunque puede reformularse sin utilizar explícitamente este enfoque, que se convirtió en uno de los principales en la teoría cuántica de campos y proporcionó una de las vías para superar el problema. dificultades de la electrodinámica cuántica , que en consecuencia se ha convertido en una de las teorías físicas más precisas y en un modelo estándar para la construcción de otras teorías cuánticas de campos. $e^{{es}}$

Desde la segunda mitad del siglo XX , se han inventado una serie de generalizaciones de la acción de una partícula puntual, por ejemplo, en el campo de la teoría de cuerdas : la acción Nambu-Goto.(área de acción) y la acción Polyakov.

En conclusión, debe decirse que en las áreas abstractas modernas de la física teórica, la acción es una de las principales herramientas para formular una teoría concreta ya desde la etapa inicial. Por ejemplo, una de las formas muy comunes de formular una nueva teoría es que para el sistema en estudio, en primer lugar, se intenta escribir una acción, limitando las posibles opciones mediante la imposición de condiciones de simetría, y muchas veces también por consideraciones de simplicidad.

Acción en la mecánica clásica

La acción en la mecánica clásica se escribe en dos formas, en última instancia equivalentes:

Lagrangiano:

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(q,\;{\dot {q)),\;t)\,dt

o hamiltoniano:

S=\int \limits_{t_{1}}^{t_{2}}{\bigg (}\sum_{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}- H(q,\;p,\;t){\bigg)}\,dt.

(para ver una acción abreviada, consulte el párrafo "Terminología" anterior ).

A pesar de la equivalencia al final, las formas lagrangianas y hamiltonianas de notación de la acción tienen diferentes ventajas técnicas e ideológicas. Cada uno de ellos puede considerarse la base para construir (sobre la base del principio de acción mínima o estacionaria ), respectivamente , las formas de mecánica lagrangiana y hamiltoniana . Es decir, variando directamente la primera acción para cada una independientemente de las demás o, de manera equivalente, escribiendo las ecuaciones de Euler-Lagrange para esta funcional , para la segunda forma, variando independientemente para cada una y (escribiendo las ecuaciones de Hamilton ), se Es fácil obtener las ecuaciones de movimiento, respectivamente, en formas lagrangianas y hamiltonianas. En el caso particular de utilizar coordenadas cartesianas, estas serán ecuaciones de movimiento newtonianas. $\deltaq_{i}$ $\deltaq_{i}$ $\delta p_{i}$

Derivando las ecuaciones de movimiento con una elección adecuada de coordenadas (en términos generales, no cartesianas) y utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange indefinidos , es fácil obtener en una forma conveniente las ecuaciones de movimiento para sistemas con restricciones , a veces excluyendo la restricción reacciones de ellos (que pueden simplificar significativamente las ecuaciones).

Cabe señalar que, a pesar de su importancia fundamental, el concepto de acción no cubre ciertos casos de mecánica macroscópica; por ejemplo, no permite escribir una acción en presencia de fuerzas disipativas arbitrarias y, en consecuencia, no permite usar el principio de mínima acción para describirlas.

Una acción clásica desde un punto de vista moderno es una cantidad proporcional a la fase de la función de onda cuántica de la partícula o sistema correspondiente (de hecho, esta es la fase, solo medida en otras unidades; sin embargo, el coeficiente de proporcionalidad dentro de la clásica la mecánica es desconocida - esta es esencialmente una cantidad cuántica; desde el punto de vista de la mecánica clásica, solo es importante que sea muy pequeña). La misma mecánica clásica es el límite de onda corta de la cuántica y se puede obtener de ella por transición . $\hbar /S\flecha derecha 0$

Acción para sistemas distribuidos

Para sistemas mecánicos distribuidos (por ejemplo, para continuos elásticos), la acción generalmente se puede escribir de la siguiente manera:

S=\int {\mathcal {L}}(q,\;{\dot {q)),\;x,\;t)\,dVdt

S=\int {\bigg (}\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-{\mathcal {H}}(q,\;p,\; x,\;t){\bigg)}\,dVdt,

donde es el elemento volumen, tridimensional en el caso de describir campos en el espacio tridimensional, son las densidades de la función de Lagrange y de la función de Hamilton, y son las variables de campo (por ejemplo, potenciales), las velocidades correspondientes y canónicamente momentos conjugados. Cada una de estas variables de campo, la velocidad y el momento, es una función de las variables "espaciales" y del tiempo, lo que representa una dimensión infinita (teniendo en cuenta la idea física de una posible discretización atómica de un sistema distribuido, solo una muy multidimensional) vector. La selección de una coordenada separada se reduce a la expansión en alguna base (esto puede ser, por ejemplo, una base de funciones delta, que esencialmente reduce todo al límite de un problema discreto, pero, quizás, la transformada de Fourier se usa aún más a menudo debido a su conveniencia ). $dV$ ${\mathcal {L)],\ {\mathcal {H))$ ${\ estilo de visualización q, \ {\ punto {q))}$ $pags$ ${\dot q}=\parcial q/\parcial t$ $q=q(x,\;y,\;z,\;t),\ {\dot {q))={\dot {q))(x,\;y,\;z,\ ;t),\ p=p(x,\;y,\;z,\;t)$ $q_{i}\en \mathbb{R}$ $q$

Para sistemas distribuidos no mecánicos, tal notación es posible sobre la base de una analogía con los mecánicos. En particular, un método similar funciona para campos fundamentales, que formalmente también se ajustan a la definición de sistemas distribuidos (aunque esto también puede considerarse solo una analogía, la cuestión de una elección u otra aquí es esencialmente terminológica). Los campos físicos fundamentales se consideran en detalle en una sección separada, aunque los sistemas distribuidos ordinarios, en particular los mecánicos, generalmente brindan modelos suficientemente buenos para ayudar a comprender la construcción de la dinámica de estos campos y, en particular, los problemas relacionados con la acción.

Ejemplos :

Para un medio lineal continuo isótropo homogéneo (obedeciendo la ley de Hooke; en realidad, esto implica casi siempre la limitación de la aplicabilidad del modelo a casos de pequeñas deformaciones) medio elástico que llena el espacio tridimensional o su región, en el caso más simple, la acción Se puede escribir como

S=\int \left({\rho \over 2}({\dot {u)))^{2}-{E \over 2}(\nabla u)^{2}\right)\ ,dxdydzdt,

donde es la densidad del medio, es el módulo de elasticidad, es la desviación del medio elástico en un punto dado en un momento dado de la posición de equilibrio condicional, es una coordenada generalizada distribuida (en este problema es un tres -vector dimensional, pero es bajo las condiciones formuladas que cada uno de sus componentes puede considerarse por separado) , es la tasa de cambio con el tiempo - la tasa distribuida también es, por supuesto, una función de . aquí está el operador de gradiente, que aquí se puede considerar aplicado por separado a cada componente , cuando luego se suman los cuadrados de los tres componentes.

{\ estilo de visualización \ rho = \ mathrm {const}}

E=\mathrm {const}

u=u(x,\;y,\;z,\;t)

{\ punto u}

tu

{\ estilo de visualización x, \ y, \ z, \ t}

\nabla

tu

La variación de esta funcional da la ecuación de movimiento en forma de ecuación de onda ordinaria independientemente para cada componente , es decir, para .

tu

tu

{\ estilo de visualización u_ {x}, \ u_ {y}, \ u_ {z})

La acción escrita se puede usar fácilmente para un medio no homogéneo, es decir, para no constante y , y también se puede generalizar directamente a medios anisotrópicos con tensor . En todos estos casos, la ecuación de movimiento del medio ya diferirá notablemente de la ecuación de onda habitual, pero se puede obtener casi con la misma facilidad variando esta acción.

\rho

mi

mi

Acción en la teoría clásica de campos

La acción en la teoría de campo clásica se utiliza para derivar ecuaciones de campo (tanto libres como con fuentes) a partir del principio de acción estacionaria (mínima) (variando las variables de campo). También se utiliza para obtener las ecuaciones de movimiento de las partículas cuando interactúan con un campo dado, también mediante el principio de acción estacionaria (mínima), pero variando las coordenadas (y en la versión hamiltoniana, también los momentos) de las partículas.

El mismo tipo de acción de un campo (aplicado tanto en el sentido clásico como cuántico) es en general muy similar al tipo de acción de los sistemas distribuidos (en particular, de los sistemas mecánicos distribuidos, como una cuerda, una membrana, etc. ). Esto nos permite establecer una analogía a veces directa, a veces condicional, entre uno y otro caso, aunque en detalles ambos pueden diferir notablemente (de modo que una analogía mecánica directa no siempre es posible, y a veces simplemente resulta no demasiado fácil). para construir y usar).

La mayoría de las veces (en el caso de campos lineales o estudiándolos en una aproximación lineal), la acción tiene una forma bastante simple y se divide en tres términos:

{\displaystyle S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s))

donde está la “acción del campo libre” — que es esencial para estudiar el comportamiento del campo sin su interacción con la “sustancia” (otros campos), es el término de interacción del cual se deriva la acción de la “sustancia” (otros campos). ) sobre el campo dado se deriva, es la acción de las "sustancias" libres (otros campos), que determina su comportamiento en ausencia de este campo, en particular, tales propiedades de la "sustancia" como su inercia. La forma del segundo término define en las ecuaciones de campo los términos que representan su(s) fuente(s) y determina la acción del campo dado sobre la "sustancia" (otros campos), por ejemplo, las ecuaciones de movimiento de una partícula cargada en un campo dado (más específicamente, las fuerzas que actúan sobre él) se derivan de y . $S_{f}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ $S_{s}$ ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ $S_{s}$

Sin embargo, para campos esencialmente no lineales, dicha partición en tres términos separados, en términos generales, falla (e incluso cuando se aísla la aproximación lineal, a menudo persisten ciertos tipos de problemas, aunque en sí mismo a menudo es significativo y posible). Por ejemplo, en la teoría general de la relatividad (y otras teorías métricas de la gravedad ), el campo gravitatorio cae dentro del término relacionado con "sustancia" (y campos no gravitatorios) en forma de una métrica incluida en el elemento de volumen y en derivadas covariantes. Este hecho asegura la interacción de la gravedad con la "sustancia" sin necesidad de un término separado (el caso de la llamada conexión mínima ), y también hace que la ecuación del campo gravitatorio sea esencialmente no lineal. Otro ejemplo (aunque relacionado con la teoría cuántica de campos, pero que también tiene analogías con la clásica): electrodinámica cuántica: su aproximación lineal cuando se calcula de acuerdo con la teoría de perturbaciones en diagramas de bucle conduce a un sinfín de resultados sin sentido asociados con la imposibilidad real de distinguir desnudo (desnudo, no interactivos) de una partícula cargada y un campo electromagnético. La forma de resolver este problema fue el programa de renormalización, que restaura el Lagrangiano de campos reales (que interactúan). ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$

Campo escalar

Entre los campos físicos fundamentales, los campos escalares , aunque están presentes en la teoría, hasta ahora su propia existencia es en gran medida de naturaleza hipotética y, en consecuencia, las propiedades son bastante poco conocidas. Sin embargo, este es el caso más simple; Además, además de los campos fundamentales, son de interés campos macroscópicos como, por ejemplo, el campo de presión de gas en acústica, que, en el caso de pequeñas (y suaves) desviaciones del equilibrio, en cierto sentido puede ser directamente comparado con un campo escalar abstracto.

El tipo de acción más simple para un campo escalar que conduce a una ecuación de campo lineal es la forma: $\varphi$

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s}=\int {\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {1}{c^{ 2}}}(\parcial _{t}\varphi )^{2}-(\nabla \varphi )^{2}-m^{2}\varphi ^{2}\right)\,dVdt+S_{ \mathrm {int} }+S_{s},

(escrito en la forma correspondiente al campo en el espacio tridimensional; aquí - "constante de fuerza", - la velocidad de propagación de las ondas de campo , que para los campos fundamentales suele ser - para no violar el principio de relatividad - se supone ser igual a la velocidad de la luz, - gradiente tridimensional, - masa de campo ( para campos sin masa), es un elemento de volumen tridimensional). Como puede ver, es invariante de Lorentz, y es muy fácil reescribirlo en notación de cuatro dimensiones, en la que esto es aún más obvio. $\alfa$ $C$ $\varphi$ $\nabla$ $metro$ $\varphi$ $metro=0$ $dV$ $S_{f}$

Cuando varía en (para un campo libre, es decir, para ), esta acción da la ecuación de Klein-Gordon , y cuando - la ecuación de onda . El caso da una variante de la ecuación de Klein-Gordon para un campo escalar de taquiones , que también se puede usar en teoría (este es un campo con equilibrio inestable en el espacio infinito o sin imponer condiciones de contorno que conduzcan a la estabilidad). $\varphi$ $S_{\mathrm {int} }=S_{s}=0$ $metro=0$ $m^{2}<0$ $\varfi=0$

No especificaremos aquí el término de interacción , ya que no estamos considerando ningún campo escalar en particular y su interacción con otra cosa. Sin embargo, tenga en cuenta que si no queremos violar el principio de relatividad, este término también debe ser invariante de Lorentz (así como ). Por ejemplo, para interactuar con otro campo escalar , este término puede ser o o su suma, etc.). ${\displaystyle S_{\mathrm {int} ))$ ${\ estilo de visualización S_{f},\ S_{s}}$ $tu$ $\mathrm {const} \cdot \int \varphi u\,dVdt$ $\mathrm {const} '\cdot \int (\partial _{i}\varphi )(\parcial ^{i}u)\,d^{4}x$

Campo electromagnético

La acción estándar para un campo electromagnético se escribe como

S=S_{f}+S_{\mathrm {int} }+S_{s},

dónde

S_{f}=-{\frac {1}{2\alpha }}\int F_{ij}F^{ij}\,dxdydzdt={\frac {1}{\alpha }}\int ( E^{2}-H^{2})\,dxdydzdt

— acción para un campo libre ( aquí — tensor de campo electromagnético, — una constante que depende del sistema de unidades utilizado, se entiende la suma según la regla de Einstein ),

F_{{ij}}

\alfa

{\ estilo de visualización i, \ j}

El término de interacción se puede escribir de diferentes maneras:

S_{\mathrm {int} }=-\int A_{i}j^{i}\,dxdydzdt

S_{int}=-\int qA_{i}u^{i}\,d\tau =-{\frac {1}{c))\int qA_{i}\,dx^{i} =\int (-q\varphi +q{\vec {A}}\cdot {\vec {v}}/c)\,dt,

(la primera forma es conveniente para derivar la(s) ecuación(es) de campo (con fuentes), y la segunda para derivar la ecuación de movimiento de una partícula cargada; aquí está el potencial electromagnético , es la carga de la partícula, es la 4-velocidad , es el diferencial de tiempo adecuado (intervalo dividido por ), y - vector potencial eléctrico y tridimensional, - velocidad tridimensional, - velocidad de la luz, y - coordenadas espacio-temporales cuatridimensionales; para varias partículas, varios términos de este se debe tomar el formulario - uno para cada uno), $Ai}$ $q$ $tu^{i}$ $d\tau$ $C$ $\varphi$ ${\ vec A}$ ${\ vec {v}}$ $C$ $dx^{i}=(dx^{0},\;dx^{1},\;dx^{2},\;dx^{3})=(c\,dt,\;dx ,\;dy,\;dz)$

S_{s}

- una acción para "sustancia" (partículas libres), que, junto con se utiliza para derivar las ecuaciones de movimiento de partículas cargadas. Para partículas rápidas ("relativistas") (ver más abajo), uno debe tomar (despreciando el giro) la acción

{\displaystyle S_{\mathrm {int} ))

S_{s}=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\ ,dt,

donde es la masa (masa en reposo) de la partícula, es la velocidad de la luz, es el diferencial de tiempo propio (para varias partículas, se debe tomar la suma de varios términos de este tipo). $metro$ $C$ $d\tau$

Si el movimiento de las partículas es lento en comparación con la velocidad de la luz y la aproximación newtoniana es suficiente, entonces podemos tomar la acción aproximada correspondiente, que es habitual en la mecánica clásica:

S_{s}=\int {\frac {mv^{2}}{2}}\,dt.

La forma más fácil de obtener las ecuaciones de Maxwell es en la forma

\parcial _{i}F^{{ik}}=\alpha j^{k},

variando la acción anterior y usando la definición de . $Ai}$ $F_{{ij}}=\parcial_{i}A_{j}-\parcial_{j}A_{i}$

Variando con , obtenemos las ecuaciones de movimiento, que se ven más simples en forma de cuatro dimensiones: $x^yo$

dp^{i}/d\tau =m\,du^{i}/d\tau =qF_{j}^{i}u^{j},

donde el lado derecho coincide con la fuerza de Lorentz habitual , que también se puede escribir (y, si se desea, obtener explícitamente) en forma tridimensional; es decir, en forma tridimensional, la ecuación de movimiento será:

{\frac {d\mathbf {p} {dt))=q\mathbf {E} +q\ \mathbf {v} \times \mathbf {B} .

Acción relativista

La acción del campo electromagnético (tanto su término para el campo libre como el término que describe la interacción con las corrientes) es invariante de Lorentz desde el principio (más precisamente, es un escalar de 4 ). Lo mismo puede decirse de la acción para todos los campos fundamentales conocidos en las teorías modernas (para hablar un poco más precisamente, en las teorías generalmente aceptadas que han pasado la verificación experimental).

Sin embargo, la acción de la mecánica clásica (newtoniana), sin importar en qué forma esté escrita, hamiltoniana o lagrangiana, no tiene la propiedad de invariancia de Lorentz. Históricamente, en un momento determinado (al borde de los siglos XIX y XX), se hizo necesario adecuar la mecánica al principio de la relatividad y, por tanto, convertirla en covariante de Lorentz. La forma más sencilla de hacer esto es escribir para una partícula ("punto material") tal acción que sea invariante de Lorentz, y luego, utilizando el procedimiento de variación habitual, obtener de ella una ecuación de movimiento que ya será Lorentz-invariante. covariante (aproximadamente, para movimientos lentos, dicha mecánica debe coincidir con la newtoniana, ya que ha sido bien probada para bajas velocidades).

La acción más simple que se puede proponer para una partícula libre, con base en la geometría de Minkowski, es una cantidad que, hasta un factor constante, coincida con la longitud de la línea de mundo de una partícula dada (y las consideraciones dimensionales determinarán el coeficiente ):

S=-\int mc^{2}\,d\tau =-\int mc\,ds=-mc^{2}\int u^{i}u_{i}\,d\tau = -mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}\,dt,

donde es la masa (masa en reposo), es el tiempo propio medido a lo largo de la línea universal de la partícula, es el elemento del intervalo a lo largo de ella, es la 4-velocidad, es la velocidad tridimensional, es el tiempo (“coordenada tiempo”, el tiempo del marco de referencia del laboratorio). $metro$ $\tau$ $ds$ $tu^{i}$ $v$ $t$

Expandiendo en órdenes de pequeñez (en el caso de que sea lo suficientemente pequeño, mucho menor que la unidad), obtenemos fácilmente la acción no relativista de la mecánica clásica: ${\ sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ $v^{2}/c^{2}$

S=-mc^{2}\int {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\,dt\approx \int \left(-mc^{2}+{ \frac {mv^{2}}{2}}\right)\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+\int {\frac {mv^{2} {2}}\,dt=\mathrm {const} \cdot (t_{2}-t_{1})+S_{\mathrm {newtoniano} },

donde el primer término puede descartarse, ya que no hace ningún aporte a las ecuaciones de movimiento (a excepción del aporte a las ecuaciones del campo gravitatorio, en el que su influencia no desaparece ni siquiera en esta aproximación; aquí estamos hablando de las ecuaciones de movimiento de la propia partícula, para lo cual se escribe la acción, y no se considera la gravedad en el sentido de Einstein). Si lo desea, también puede mantener en la expansión los términos de los siguientes órdenes en , que dan correcciones relativistas para el caso de velocidades bajas (en lugar de usar la acción relativista exacta y las ecuaciones exactas de movimiento, si esto es de alguna manera apropiado) . $v^{2}/c^{2}$

Acción en la teoría de la gravedad

Para la teoría newtoniana de la gravedad , la acción podría escribirse como donde está la acción de la "materia", como se dice en las teorías de la gravedad - es decir, todo menos la gravedad, y - un gradiente tridimensional del potencial gravitacional (que significa la velocidad infinita de propagación de la interacción gravitacional). Este valor claramente no es invariante de Lorentz , por lo tanto, como toda la mecánica clásica, puede extenderse - aproximadamente - al caso de movimiento lento (en comparación con la velocidad de la luz) y campos gravitatorios no muy fuertes (aunque solo sea porque los campos fuertes, generalmente hablando, acelerará los cuerpos a altas velocidades). Hay muchas teorías que, de una forma u otra, han modificado esta acción para hacerla invariante de Lorentz (ver Teorías alternativas de la gravedad ), pero la mayoría de ellas ahora solo tienen importancia histórica, o viceversa, aún no han demostrado sus ventajas. a la comunidad científica. Además, algunas teorías prometedoras para describir la gravedad (aunque también bastante alejadas de la declaración final), como, por ejemplo, la teoría de cuerdas y sus generalizaciones, también son bastante complejas y no solo cubren la gravedad, por lo que merecen una consideración aparte. $S={1 \over 16\pi G}\int (\nabla \varphi)^{2}\,dxdydzdt+S_{m},$ $S_{m}$ $\ nabla \ varphi$

Por lo tanto, aquí nos limitamos a dar una acción correspondiente a la teoría principal (no cuántica) de la gravedad de la física moderna: la teoría general de la relatividad . Esta es la acción de Einstein-Hilbert :

S={1 \over 16\pi G}\int R{\sqrt {-g}}\,d^{4}x+S_{m},

donde es la constante gravitatoria de Newton , es la curvatura escalar (escalar de Ricci) del espacio-tiempo, es el determinante de la matriz de los componentes del tensor métrico y es la acción de los campos no gravitacionales (partículas masivas, campo electromagnético, etc.) . $GRAMO$ ${\displaystyle R=R_{\mu }^{\mu ))$ $g=|g_{\mu\nu}|$ $S_{m}$

Al variar esta acción a lo largo de la métrica del espacio-tiempo (que desempeña el papel del potencial gravitacional, es decir, las variables de campo en esta teoría), las ecuaciones de Einstein (a veces también llamadas ecuaciones de Einstein-Hilbert) se obtienen en la forma: $g_{ij}$

R_{{\mu \nu }}-{R \sobre 2}g_{{\mu \nu }}={8\pi G \sobre c^{4}}T_{{\mu \nu }}

(así es como Gilbert los consiguió por primera vez en 1915 , Einstein fue por el otro lado).

El término de la ecuación que describe la fuente del campo gravitatorio (el lado derecho) se obtiene en este caso porque la métrica , a lo largo de la cual se realiza la variación, también está incluida en al menos a través del factor , que está incluido en la expresión para el elemento del volumen (cuadridimensional) (aquí está la densidad de la función de Lagrange para la "sustancia" - es decir, todos los campos no gravitacionales, y - su tensor de energía-momento ). $g_{\mu\nu}$ $S_{m}=\int {\mathcal {L}}{\sqrt {-g}}\,d^{4}x$ ${\ sqrt {-g))$ ${\ matemática L}$ $T_{\mu\nu}$

La acción para el campo gravitatorio de la relatividad general también se puede reescribir de otra forma, equivalente a esta, excepto por las condiciones de contorno (y si las condiciones de contorno se ponen a cero por alguna razón, entonces en una forma completamente equivalente), y que contiene bajo la integral, en lugar del tensor de curvatura, la construcción de , que puede interpretarse como el cuadrado de la intensidad del campo campo gravitacional - es decir, en una forma similar a como se suele escribir la acción para que sea más simple - escalar y vectorial - campos, por ejemplo, electromagnéticos. $\gamma _{{\mu \nu}}^{\lambda}$

Complementando la acción escrita anteriormente con el término , obtenemos las ecuaciones de Einstein con el término - : ${\ estilo de visualización \ int \ Lambda {\ sqrt {-g}} \, d ^ {4} x}$ $\lambda$

R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{ \mu\nu}.

Una teoría cuántica de la gravedad completamente satisfactoria, hasta donde se sabe, actualmente ( 2009 ) no existe. Sin embargo, muchas de las teorías que más o menos pueden reclamar este papel dan la acción de Einstein-Hilbert generalmente efectiva en el límite de baja energía.

Acción y mecánica cuántica

Acción para campos fermiónicos

Para campos fermiónicos (en particular, para espinores ), uno no solo puede escribir una acción, sino también obtener ecuaciones formalmente clásicas para estos campos variando tal acción. Sin embargo, a diferencia de los campos de bosones , los campos fermiónicos se observan peor en su forma clásica, ya que el principio de Pauli prohíbe que más de un fermión se encuentre en el mismo estado, lo cual es permitido para los bosones y les permite, estar en el mismo estado cuántico en grandes cantidades. , para ser observado como un campo clásico ordinario, como un campo electromagnético. Pero al mismo tiempo, hay un teorema que establece (al menos en el marco de la aplicabilidad de la teoría de la perturbación) que el resultado de la segunda cuantización para tales campos de fermiones coincide con la interpretación de tales campos "clásicos" como funciones de onda de fermiones. en el sentido de la primera cuantización .

Así, por ejemplo, la ecuación de Dirac obtenida utilizando el principio de acción estacionaria a partir de una u otra forma de escribir la acción para una partícula con espín 1/2 está directamente relacionada con la descripción cuántica de tal fermión (por ejemplo, un electrón) .

La ecuación de Dirac tiene una propiedad que presenta cierta dificultad para obtenerla a partir de una acción con un Lagrangiano cuadrático (y cualquier otro, si se utilizan las reglas usuales de variación y se consideran las componentes del espinor como números ordinarios). Esta propiedad es el primer orden de derivadas en la ecuación de Dirac.

A veces uno sale de la situación simplemente introduciendo modificaciones formales artificiales de las restricciones sobre las reglas de variación o las acciones de los operadores derivados.

Aparentemente, un enfoque más sistemático es que los campos fermiónicos (espinores y sus componentes) se consideran Grassmannianos ., es decir, números anticonmutantes, que cambia el signo de los términos con derivadas de primer y segundo orden respecto a los habituales, por lo que los términos de segundo orden se destruyen al variar, quedando los primeros.

Integral de trayectoria de Feynman

La integral de trayectoria de Feynman es aplicable a la descripción cuántica tanto de partículas puntuales en el espacio ordinario como de campos (como sistemas distribuidos) en el espacio de configuraciones (y esta aplicabilidad a ambos casos no es sorprendente en principio, ya que la diferencia formal entre una partícula puntual y un sistema dinámico multidimensional, incluso de dimensión infinita, solo en la dimensión del espacio de configuración, que generalmente ya se entiende bien dentro del marco de la mecánica clásica).

Si la acción (que esencialmente coincide con la acción clásica habitual, al menos para sistemas cuya descripción no es tan exótica como para dificultar el uso de la palabra) es conocida, es decir, se puede escribir para la trayectoria clásica habitual en el " ordinario" o espacio de configuración ( tal vez el tiempo o simplemente una variable cuando se especifica paramétricamente en notación de cuatro dimensiones), entonces la función de onda cuántica de dicho sistema con una fuente puntual en un punto del espacio-tiempo [3] se puede escribir como funcional integral $S[x]$ $x(\tau)$ $\tau$ $x_{1}$

\Psi (x_{2},\;x_{1})=\int Dxe^{iS[x]/\hbar },

donde está la trayectoria que comienza y termina en , la integral significa la suma de todas las trayectorias concebibles, para cada una de las cuales la acción tiene su propio significado. Además, en el caso relativista, entre las trayectorias hay trayectorias con secciones de movimiento inverso en el tiempo, que pueden interpretarse como trayectorias de una antipartícula virtual en el tiempo hacia adelante, y puntos de inflexión, como un nacimiento virtual y aniquilación de pares partícula-antipartícula. . $X$ $x_{1}$ $x_{2}$ $S[x]$

En la teoría cuántica de campos, la integración se aplica tanto sobre las trayectorias de las partículas en el espacio ordinario (más precisamente, en el espacio-tiempo), que en este caso suele denominarse cuantización primaria , como sobre las trayectorias en el espacio de las variables de campo, que se denomina cuantización secundaria . . Ambos métodos, hasta donde se sabe, dan resultados equivalentes en el marco de la teoría de perturbaciones.

La integral de trayectoria de Feynman es uno de los métodos de cuantización (construcción de una teoría cuántica) más populares entre los físicos teóricos modernos. Al mismo tiempo, esta es una de las formas más directas de comparar una imagen cuántica con una clásica, lo cual es una de sus serias ventajas psicológicas, ya que cada trayectoria en ella se percibe, en principio, como clásica, y la acción es calculado exactamente de acuerdo con la receta clásica, lo que en una serie de casos y aspectos hace que la teoría sea notablemente más visible y fácil de entender que otros enfoques. Entre otras cosas, esta propiedad es conveniente para pasar al límite a los clásicos (ver más abajo), y la transición a ella basada en la integral de trayectoria es, en este sentido, una de las formas más estándar en la física moderna. Lo mismo se aplica a la conveniencia suficiente de obtener la aproximación semiclásica de esta manera (ver también más abajo).

En un número de casos (muy limitado - cuando la acción es cuadrática en coordenadas o variables de campo y sus derivados, y la integral se reduce a una Gaussiana multidimensional con un paso al límite al caso de dimensión infinita), la integral de trayectoria de Feynman puede calcularse explícita y exactamente. Su cálculo se practica por métodos numéricos. En muchos casos, esta integral es útil en varias transformaciones y otros cálculos teóricos.

Es fácil establecer la equivalencia del enfoque de integración de trayectorias con la ecuación de Schrödinger , al menos en la situación topológica trivial.

Para campos libres (que no interactúan) en un espacio plano vacío, la integración de caminos a menudo hace posible obtener explícitamente un propagador , que resulta ser el mismo que el propagador obtenido de la ecuación diferencial para el campo correspondiente (por ejemplo, de la ecuación de onda para un campo escalar sin masa). Resulta que para los campos que interactúan, la integral de trayectoria es quizás la forma más natural (y popular entre los teóricos modernos) de justificar la técnica de los diagramas de Feynman . El hecho es que la integral de trayectoria para un sistema de partículas que interactúan (campos) se divide fácilmente en partes donde no hay interacción (y el resultado, como dijimos un poco más arriba, se conoce para este caso: este es un propagador correspondiente a el comportamiento de un campo libre, que puede calcularse fácilmente de cualquier manera), complementado con una interacción puntual, que ya se reduce a la integración de dimensión finita habitual, de acuerdo con las reglas de Feynman .

Sin embargo, la cuantificación de la integral de trayectoria no se limita a la teoría de perturbaciones (diagramas de Feynman). Este método también encuentra más aplicaciones no triviales, tanto en física teórica como en algunas áreas de las matemáticas puras. [4] [5] [6]

Acción y la última transición a los clásicos

En mecánica cuántica , el hecho de que el comportamiento de un sistema mecánico cuántico tienda hacia la física clásica en el límite de grandes acciones (grandes números cuánticos ) se denomina principio de correspondencia . Este principio fue introducido por Niels Bohr en 1923 .

Las reglas de la mecánica cuántica se aplican con mucho éxito en la descripción de objetos microscópicos como átomos y partículas elementales . Por otro lado, los experimentos muestran que una variedad de sistemas macroscópicos ( resorte , capacitor , etc.) se pueden describir con bastante precisión de acuerdo con las teorías clásicas que utilizan la mecánica clásica y la electrodinámica clásica (aunque hay sistemas macroscópicos que exhiben un comportamiento cuántico, como helio líquido superfluido o superconductores ). Sin embargo, es bastante razonable creer que las leyes últimas de la física deberían ser independientes del tamaño de los objetos físicos que se describen. Esta es la premisa del principio de correspondencia de Bohr, que establece que la física clásica debería surgir como una aproximación a la física cuántica a medida que los sistemas se vuelven grandes .

Las condiciones bajo las cuales coinciden la mecánica cuántica y la clásica se denominan límite clásico . Bohr propuso un criterio aproximado para el límite clásico: la transición ocurre cuando los números cuánticos que describen el sistema son grandes , lo que significa que el sistema está excitado a números cuánticos grandes, o que el sistema está descrito por un gran conjunto de números cuánticos, o ambos. . Una formulación más moderna dice que la aproximación clásica es válida para valores grandes de la acción . En términos de física "escolar", esto significa que se deben observar las desigualdades: $S\gg\hbar$

P\veces l\gg\hbar

E\veces t\gg\hbar

(el producto del momento característico del proceso y su tamaño característico y el producto de la energía característica del proceso y su tiempo característico son mucho mayores ) $\hbar$

El principio de correspondencia es una de las herramientas de que disponen los físicos para elegir una teoría cuántica que se corresponda con la realidad . Los principios de la mecánica cuántica son bastante amplios; por ejemplo, afirman que los estados de un sistema físico ocupan el espacio de Hilbert , pero no dicen cuál. El principio de correspondencia restringe la elección a aquellos espacios que reproducen la mecánica clásica en el límite clásico.

Formulación de Dirac

Formulación de Dirac, también llamada "Principio de correspondencia de Dirac" : "La correspondencia entre las teorías cuántica y clásica consiste no tanto en el acuerdo límite en , sino en el hecho de que las operaciones matemáticas de las dos teorías obedecen a las mismas leyes en muchos casos". [7] [8] ${\ estilo de visualización \ hbar \ a 0}$

Integrales de trayectoria

En la formulación de la mecánica cuántica en términos de integrales de trayectoria, las trayectorias que dan el valor de la acción , que difieren notablemente del valor estacionario (determinado a partir del principio de mínima acción ), hacen una pequeña contribución a la amplitud de transición final (infinitamente pequeña en ). Por lo tanto, en la aproximación semiclásica , la amplitud de transición está determinada solo por las trayectorias clásicas de las partículas (en el caso más simple de movimiento en el espacio, tal trayectoria es única), determinadas a partir del principio de acción mínima , y la ecuación de Schrödinger entra en la ecuación de Hamilton-Jacobi . $S_{\mathrm {min} }\to \infty$ $S_{\mathrm {min} }\to \infty$

Véase también

Enlaces

Artículo "Acción" en la Enciclopedia de Física

Notas

↑ Informe en la reunión de la Sociedad Alemana de Física el 23 de marzo de 1906 Verh. d. Alemán. Físico, b. 4, art. 136. - traducción del alemán - ver “El principio de la relatividad. Colección de trabajos sobre la teoría especial de la relatividad”. - M.: Atomizdat , 1973. - S. 163.
↑ W. Pauli. § 31. Principio de acción invariante en electrodinámica // Teoría de la Relatividad / Ed. V. L. Ginzburg y V. P. Frolov .. - 3°, corregido .. - M . : Nauka, 1991. - S. 125-127. — 328 pág. - ISBN 5-02-014346-4 .
↑ En esencia, en esta formulación, estamos hablando de un propagador ( funciones de Green ).
↑ Witten E. Teoría de campos cuánticos y el polinomio de Jones. - comun. Matemáticas. Phys., 1989. - Vol. 121 , no. 3 . - S. 351-399 . -doi : 10.1007 / BF01217730 .
↑ Alvarez-Gaume L. Supersimetría y el teorema del índice de Atiyah-Singer. - comun. Matemáticas. Phys., 1983. - V. 90 , no. 2 . - S. 161-173 . -doi : 10.1007/ BF01205500 .
↑ Kontsevich, M. Cuantización de la deformación de las variedades de Poisson . — Letras en Matemáticas. Phys., 2003. - V. 66 , no. 3 . - S. 157-216 . -doi : 10.1023/B : MATH.0000027508.00421.bf .
↑ Dirac P. A. M. Colección de artículos científicos. - M. : Fizmatlit, 2003. - T. II Teoría cuántica (artículos científicos 1924-1947). - S. 67.
↑ Dirac P. A. M. A la creación de la teoría cuántica de campos. Artículos principales 1925-1958. - M. : Nauka, 1990. - S. 34. - 368 p.