Función mangold

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La función de Mangoldt es una función aritmética igual a si es una potencia de un número primo , en caso contrario . Brevemente: ${\ estilo de visualización \ Lambda (n)}$ $\ln pag$ ${\ Displaystyle n = p ^ {m}}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda (n) = 0}$

\Lambda (n)={\begin{casos}\ln p,\quad &n=p^{m}\\0,\ \quad &n\neq p^{m}\end{casos))

La función de Mangoldt fue propuesta por X. Mangoldt en 1894. Se utiliza para demostrar la ley de distribución de los números primos en general y en progresiones aritméticas.

Propiedades

De la definición se sigue que

\sum \limits _{d\mid n}\Lambda (d)=\ln n

Usando la fórmula de inversión de Möbius de la fórmula anterior, obtenemos

\Lambda (n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\ln {\frac {n}{d))=-\sum \limits _{d\mid n} \mu (d)\ln d

Relación con la distribución de números primos

Relación con la función zeta de Riemann : $\ln \zeta (s)=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{n^{s}\ln n)),\ \ nombre del operador {Re} s>1$
$-{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\Lambda (n)}{ n^{s}}},\ \nombre del operador {Re} s>1$
Relaciones similares también son válidas para las funciones L de Dirichlet :

\ln L(s,\chi )=\sum \limits _{n=2}^{\infty }{\frac {\chi (n)\Lambda (n)}{n^{s}\ ln n}},\ \nombre del operador {Re} s>1

-{\frac {L'(s,\chi )}{L(s,\chi )}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi ( n)\Lambda (n)}{n^{s}}},\ \nombre del operador {Re} s>1

$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n))\sim \ln x$
$\sum \limits _{n\leqslant x}{\frac {\Lambda (n)}{n\ln n))=\ln \ln x+\gamma +O(e^{-c{\sqrt {\ln x)))}),$ donde esta la constante de euler $\gama$
La función psi de Chebyshev es la función de suma de la función de Mangoldt

\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)

La fórmula de Perron , aplicada a la relación anterior, da

{\frac {\zeta '(s)}{\zeta (s)))=-s\int \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\psi (x)} {x^{1+s}}}dx,\ \nombre del operador {Re} s>1

Literatura

Prahar. Distribución de números primos. — M .: Mir, 1967.