Funciones Chebyshev

Las funciones de Chebyshev [K 1] son funciones de teoría de números y están asociadas con la distribución de números primos y definidas como $\el impuesto)$ $\psi(x)$

\theta (x)=\sum \limits _{{p\leqslant x}}\ln p

\psi (x)=\sum \limits _{m\in \mathbb {N} }\sum \limits _{p^{m}\leqslant x}\ln p,

donde son números primos y son números naturales. $pags$ $metro$

Introducido por el matemático ruso Pafnuty Chebyshev .

Propiedades

La definición de la función psi de Chebyshev se puede escribir en términos de la función de Mangoldt : . $\psi (x)=\sum \limits _{{n\leqslant x}}\Lambda (n)$
Las funciones de Chebyshev están relacionadas por la relación (donde solo los primeros términos son distintos de cero), lo que implica la relación asintótica . $\psi (x)=\theta (x)+\theta ({\sqrt {x)))+\theta ({\sqrt[{3}]{x)))+\dots =\sum _ {n=1}^{\infty}\theta ({\sqrt[{n}]{x)))$ $\psi (x)=\theta (x)+O({\sqrt {x)))$
La potenciación da: , . $e^{{\psi (x)}}=\nombre del operador {lcm}(1,2,...,[x])$ $e^{{\theta (x)}}=\prod \limits _{{p\leqslant x}}p$

Relación con la distribución de números primos

Las funciones de Chebyshev están relacionadas con la función de distribución de números primos : . $\psi (x)\sim \theta (x)\sim \pi (x)\ln x$
Para la función psi de Chebyshev, existen fórmulas explícitas obtenidas mediante el análisis de la función zeta de Riemann :

\psi (x)=x-\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{{\rho }}}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2 }}\ln(1-x^{{-2}}),

donde recorre todos los ceros no triviales de la función zeta. $\rho$

El teorema de de la Vallée-Poussin sobre la distribución de primos en términos de la función psi se formula de la siguiente manera:

\psi (x)=x+O(e^{{-c{\sqrt {\ln x)))))

Y la hipótesis de Riemann es equivalente al enunciado

\psi (x)=x+O({\sqrt {x}}\ln^{2}x)

Véase también

postulado de bertrand

Comentarios

↑ Contrariamente a la pronunciación común del antiguo apellido noble del científico - Chebyshev [1] [2] [3] - con énfasis en la primera sílaba ( Chébyshev ), debido a la tendencia característica del siglo XX de separar los apellidos en -ov / -ev de los adjetivos posesivos originales [2 ] . _ _ _ _ _ _ _ _ fija la ortografía y pronunciación de [7][6][5][4]Chebyshev .

Notas

↑ Chebyshev Pafnuty Lvovich / BV Gnedenko // Chagan - Aix-les-Bains. - M. : Enciclopedia soviética, 1978. - ( Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / editor en jefe A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 29). - En el título del artículo: " Chebyshev (pronunciado Chebyshev ) Pafnuty Lvovich..."
↑ 1 2 Unbegaun, B. O. Apellidos rusos / trad. De inglés. L. V. Kurkina , V. P. Neroznak , E. R. Squires ; edición N. N. Popov . - M .: Progreso, 1989. - S. 349. - ISBN 5-01-001045-3 .
↑ Kalitkin, N. N. Métodos numéricos: libro de texto. — 2ª ed., corregida. - San Petersburgo. : BHV-Petersburg, 2011. - P. 33 [ Sistema de funciones de Chebyshev ], 465 [ Conjunto de pasos de Chebyshev ], 552 [ Criterio de Chebyshev ], 574 [ Polinomios de Chebyshev ] . — (Literatura educativa para universidades). - ISBN 978-5-9775-0500-0 .
↑ Chebyshev [ polinomios de Chebyshev , fórmula de Chebyshev ]; Chebyshevsky // Diccionario de ortografía rusa / Academia de Ciencias de Rusia. Instituto de la Lengua Rusa . V. V. Vinogradova ; edición V. V. Lopatina , O. E. Ivanova . - Ed. 4to, rev. y adicional - M. : AST-PRESS KNIGA, 2013. - S. 819. - (Diccionarios fundamentales del idioma ruso). - ISBN 978-5-462-01272-3 .
↑ Ageenko, F. L. Chebyshev Pafnyuty // Nombres propios en ruso: diccionario de acentos. - M. : Editorial de NTs ENAS, 2001. - S. 349. - ISBN 5-93196-107-0 .
↑ Diario de Matemática Computacional y Física Matemática. - M. : Editorial de la Academia de Ciencias de la URSS, 1982. - T. 22, No. 1. - P. 142 [ Chebyshev center of set ].
↑ Colección matemática. - M .: Nauka, 2004. - T. 195. - P. 29 [ Alternancia Chebyshev ], 56-57 [ Método Chebyshev ].

Literatura

Prahar, K. La distribución de los números primos = Primzahl Verteilung / per. con él. A. A. Karatsupy. - M. : Mir, 1967. - 511 p.