Lista de grupos cristalográficos

Grupos cristalográficos , o grupos de Fedorov: un conjunto de grupos de simetría que describen todas las simetrías posibles de un número infinito de puntos ubicados periódicamente en el espacio tridimensional. Esta clasificación de simetrías fue realizada de manera independiente y casi simultánea por el matemático ruso Fedorov y el matemático alemán Schoenflies . La información obtenida juega un papel importante en la cristalografía .

Leyenda de la lista

El símbolo de Herman es Mogen

El símbolo de grupo espacial contiene el símbolo de red de Bravais (letra mayúscula P, A, B, C, I, R o F) y el símbolo de grupo de puntos internacional. En este caso, los símbolos de los ejes y planos de simetría en el símbolo pueden cambiar a los símbolos de ejes helicoidales y planos deslizantes de acuerdo con su presencia en este espacio cristalino particular. Los símbolos de la red de Bravais transmiten su tipo de centrado:

P - primitivo;
I - centrado en el cuerpo (nodo adicional en el centro de la celda);
F - centrado en la cara (nodos adicionales en los centros de todas las caras).
C, A o B: centrado en la base (un nodo adicional en el centro de la cara C, A o B). Las celosías de los tipos A y B también se denominan centradas en los lados;
R - doblemente centrado en el cuerpo (dos nodos adicionales en la diagonal grande de la celda).

Clases

Para designar clases cristalográficas ( grupos de puntos ), se aceptan las siguientes designaciones (aquí la letra n reemplaza a un número natural, y la letra m representa a la letra m misma ):

$norte$ es el eje de simetría de orden n .
$\granero}$ es el eje de inversión de simetría de orden n .
$metro$ es el plano de simetría.
$Nuevo Méjico$ o - el eje de simetría de orden n y n planos de simetría que lo recorren. ${\ estilo de visualización mm}$
${\frac{n}{m))$ es el eje de simetría de orden n y el plano de simetría perpendicular a él.
${\ estilo de visualización n2}$ es un eje de simetría de orden n y n ejes de segundo orden perpendiculares a él.
${\ estilo de visualización n/mmm}$ - eje de simetría de orden n y planos paralelos y perpendiculares a él.
${\bar{n}}m2$ o ( n - par) - eje de inversión de simetría de orden n , planos de simetría que pasan a lo largo de él y ejes de segundo orden, perpendiculares a él. ${\bar{n}}2m$ ${\tfrac{n}{2))$ ${\tfrac{n}{2))$
${\bar{n}}m$ ( n - impar) - eje de inversión de simetría de orden n , n planos de simetría que pasan a lo largo de él y n ejes de segundo orden, perpendiculares a él.

Símbolo de Schoenflies

C n - grupos cíclicos - grupos con una sola dirección especial representada por un eje de rotación de simetría - se denotan con la letra C , con un subíndice n correspondiente al orden de este eje.

Con ni - los grupos con un solo eje de simetría de inversión van acompañados de un subíndice i.
C nv (del alemán vertikal - vertical) - también tiene un plano de simetría ubicado a lo largo del único o principal eje de simetría, que siempre se considera vertical.
C nh (del alemán horizontal - horizontal) - también tiene un plano de simetría perpendicular al eje de simetría principal.

S 2 , S 4 , S 6 (del alemán spiegel - espejo) - grupos con un solo eje de simetría del espejo.

C s - para un plano de orientación indefinida, es decir, no fijo debido a la ausencia de otros elementos de simetría en el grupo.

D n - es un grupo C n con n ejes de simetría adicionales de segundo orden, perpendiculares al eje original.

D nh - también tiene un plano de simetría horizontal.
D nd (del alemán diagonal - diagonal) - también tiene planos de simetría diagonales verticales que van entre los ejes de simetría de segundo orden.

O, T - grupos de simetría con varios ejes de orden superior - grupos de singonía cúbica. Se denotan con la letra O si contienen el conjunto completo de ejes de simetría del octaedro, o con la letra T si contienen el conjunto completo de ejes de simetría del tetraedro.

O h y T h - también contienen un plano de simetría horizontal
T d - también contiene un plano diagonal de simetría

n puede ser 1, 2, 3, 4, 6.

Lista de los 230 grupos

Número	Clase	Número de grupos	Símbolo de Herman-Mogen	símbolo de moscas schön	Imagen
sistema triclínico
una	$una$	una	${\ estilo de visualización P1}$	$C_{1}$
2	${\ barra {1}}$	una	$P{\bar {1}}$	$C_{yo}$
Sistema monoclínico
3-5	$2$	3	${\ estilo de visualización P2}$ ${\ estilo de visualización P2_ {1}}$ ${\ estilo de visualización C2}$	$C_{2}$	Exteriormente, una persona tiene simetría. ${\ Displaystyle C_ {s}}$
6-9	$metro$	cuatro	${\ estilo de visualización Pm}$ ${\ estilo de visualización PC}$ ${\ estilo de visualización cm}$ $CC$	${\ Displaystyle C_ {s}}$
10-15	$2/m$	6	${\ estilo de visualización P2/m}$ $P2_{1}/m$ ${\ estilo de visualización C2/m}$ ${\ estilo de visualización P2/c}$ $P2_{1}/c$ ${\ estilo de visualización C2/c}$	${\ Displaystyle C_ {2h}}$
sistema rómbico
16-24	$222$	9	${\ estilo de visualización P222}$ ${\ Displaystyle P222_ {1}}$ ${\ estilo de visualización P2_{1}2_{1}2}$ $P2_{1}2_{1}2_{1}$ ${\ estilo de visualización C222_ {1}}$ ${\ estilo de visualización C222}$ ${\ estilo de visualización F222}$ ${\ estilo de visualización I222}$ ${\ estilo de visualización I2_{1}2_{1}2_{1}}$	$D_{2}$	Los rieles son simétricos. $C_{{2v}}$
25 - 46	${\ estilo de visualización mm2}$	22	${\ estilo de visualización Pmm2}$ ${\ Displaystyle Pmc2_ {1}}$ $PCc2$ ${\ Displaystyle Pma2}$ ${\ Displaystyle Pca2_ {1}}$ ${\ estilo de visualización Pnc2}$ ${\displaystyle PMn2_{1))$ ${\ estilo de visualización Pba2}$ $Pna2_{1}$ ${\ estilo de visualización Pnn2}$ ${\ estilo de visualización Cmm2}$ ${\displaystyle Cmc2_{1))$ ${\ estilo de visualización Ccc2}$ ${\ Displaystyle Am2}$ ${\ estilo de visualización Aem2}$ ${\ Displaystyle Ama2}$ ${\ Displaystyle Aea2}$ ${\ estilo de visualización Fmm2}$ ${\ estilo de visualización Fdd2}$ $Imm2$ ${\ Displaystyle Iba2}$ ${\ Displaystyle Ima2}$	$C_{{2v}}$
47-74	$mmm$	28	${\ estilo de visualización Pmmm}$ ${\ Displaystyle Pnnn}$ ${\ estilo de visualización PCCM}$ $Pban$ ${\ Displaystyle PMa}$ ${\ Displaystyle Pna}$ ${\ Displaystyle Pmna}$ $PCC$ ${\ Displaystyle Pbam}$ $pcn$ $Pbcm$ ${\ Displaystyle Pnnm}$ $Pmmn$ $Pbcn$ ${\ Displaystyle Pbca}$ $pnma$ $cmcm$ $cmce$ $Cmmm$ $CCCM$ $cmme$ ${\ Displaystyle Ccc}$ ${\ Displaystyle Fmmm}$ $Fddd$ $Immm$ ${\ Displaystyle Ibam}$ ${\ Displaystyle Ibca}$ ${\ Displaystyle Imma}$	${\ Displaystyle D_ {2h}}$
sistema tetragonal
75-80	$cuatro$	6	${\ estilo de visualización P4}$ ${\ Displaystyle P4_ {1}}$ ${\ Displaystyle P4_ {2}}$ ${\ estilo de visualización P4_ {3}}$ ${\ estilo de visualización I4}$ ${\ estilo de visualización I4_ {1}}$	${\ Displaystyle C_ {4}}$	$C_{4}$ Simetría.
81-82	${\ barra {4}}$	2	$PAG{\bar {4))$ $yo{\bar {4))$	$S_{4}$
83-88	$4/mes$	6	${\ estilo de visualización P4/m}$ $P4_{2}/m$ ${\ estilo de visualización P4/n}$ $P4_{2}/n$ ${\ estilo de visualización I4/m}$ $I4_{1}/a$	${\ Displaystyle C_ {4h}}$
89-98	${\ estilo de visualización 422}$	diez	${\ estilo de visualización P422}$ $P42_{1}2$ ${\ estilo de visualización P4_ {1} 22}$ $P4_{1}2_{1}2$ ${\ estilo de visualización P4_ {2} 22}$ $P4_{2}2_{1}2$ ${\ estilo de visualización P4_ {3} 22}$ $P4_{3}2_{1}2$ ${\ estilo de visualización I422}$ ${\ estilo de visualización I4_ {1} 22}$	${\ Displaystyle D_ {4}}$
99-110	$4 mm$	12	${\ estilo de visualización P4mm}$ ${\ estilo de visualización P4bm}$ $P4_{2}cm$ $P4_{2}nm$ ${\ estilo de visualización P4cc}$ ${\ estilo de visualización P4nc}$ $P4_{2}mc$ $P4_{2}bc$ ${\ estilo de visualización I4 mm}$ ${\ estilo de visualización I4cm}$ $I4_{1}md$ $I4_{1}cd$	${\ Displaystyle C_ {4v}}$
111-122	${\bar {4}}2m$	12	$P{\bar {4}}2m$ $P{\bar {4}}2c$ $P{\bar {4}}2_{1}m$ $P{\bar {4}}2_{1}c$ $P{\bar {4}}m2$ $P{\bar {4}}c2$ $P{\bar {4}}b2$ $P{\bar {4}}n2$ $yo{\bar {4}}m2$ $yo{\bar {4}}c2$ $yo{\bar {4}}2m$ $yo{\bar {4}}2d$	${\ Displaystyle D_ {2d}}$
123-142	$4/mmm$	veinte	${\ estilo de visualización P4/mmm}$ ${\ estilo de visualización P4/mcc}$ ${\ estilo de visualización P4/nbm}$ ${\ estilo de visualización P4/nnc}$ ${\ estilo de visualización P4/mbm}$ ${\ estilo de visualización P4/mnc}$ ${\ estilo de visualización P4/nmm}$ ${\ estilo de visualización P4/ncc}$ $P4_{2}/mmc$ $P4_{2}/mcm$ $P4_{2}/nbc$ $P4_{2}/nnm$ $P4_{2}/mbc$ $P4_{2}/mnm$ $P4_{2}/nmc$ $P4_{2}/ncm$ ${\ estilo de visualización I4/mmm}$ ${\ estilo de visualización I4/mcm}$ $I4_{1}/amd$ $I4_{1}/acd$	${\ Displaystyle D_ {4h}}$	La red cristalina de circón tiene simetría. $I4_{1}/amd$
sistema trigonal
143-146	$3$	cuatro	${\ estilo de visualización P3}$ ${\ estilo de visualización P3_ {1}}$ ${\ estilo de visualización P3_ {2}}$ ${\ estilo de pantalla R3}$	$C_{{3}}$	La molécula de borazano tiene simetría. ${\ Displaystyle C_ {3v}}$
147-148	${\ barra {3}}$	2	$PAG{\bar {3))$ $R{\bar {3))$	${\ Displaystyle C_ {3i}}$
149-155	$32$	7	${\ estilo de visualización P312}$ ${\ estilo de visualización P321}$ $P3_{1}12$ ${\ estilo de visualización P3_ {1} 21}$ ${\ estilo de visualización P3_ {2} 12}$ ${\ estilo de visualización P3_ {2} 21}$ ${\ estilo de pantalla R32}$	${\ Displaystyle D_ {3}}$
156-161	${\ estilo de visualización 3m}$	6	${\ estilo de visualización P3m1}$ ${\ estilo de visualización P31m}$ ${\ estilo de visualización P3c1}$ ${\ estilo de visualización P31c}$ ${\ estilo de visualización R3m}$ ${\ estilo de pantalla R3c}$	${\ Displaystyle C_ {3v}}$
162-167	${\bar {3}}m$	6	$P{\bar {3}}1m$ $P{\bar {3}}1c$ $P{\bar {3}}m1$ $P{\bar {3}}c1$ $R{\bar {3}}m$ $R{\bar {3}}c$	${\ estilo de visualización D_ {3d}}$
sistema hexagonal
168-173	$6$	6	${\ estilo de visualización P6}$ ${\ estilo de visualización P6_ {1}}$ ${\ estilo de visualización P6_ {5}}$ ${\ estilo de visualización P6_ {2}}$ ${\ Displaystyle P6_ {4}}$ ${\ estilo de visualización P6_ {3}}$	${\ estilo de visualización C_ {6}}$	Los panales son simétricos. $C_{{6h}}$
174	${\ barra {6}}$	una	$P{\bar {6}}$	${\ Displaystyle C_ {3h}}$
175-176	$6/mes$	2	${\ estilo de visualización P6/m}$ $P6_{3}/m$	$C_{{6h}}$
177-182	${\ estilo de visualización 622}$	6	${\ estilo de visualización P622}$ ${\ estilo de visualización P6_ {1} 22}$ ${\ estilo de visualización P6_ {5} 22}$ ${\ estilo de visualización P6_ {2} 22}$ ${\ estilo de visualización P6_ {4} 22}$ ${\ estilo de visualización P6_ {3} 22}$	${\ estilo de visualización D_ {6}}$	Un nanotubo puede tener simetría. ${\ Displaystyle D_ {6h}}$
183-186	$6 mm$	cuatro	${\ estilo de visualización P6mm}$ ${\ estilo de visualización P6cc}$ $P6_{3}cm$ $P6_{3}mc$	$C_{6v}$
187-190	${\bar {6}}m2$	cuatro	$P{\bar {6}}m2$ $P{\bar {6}}c2$ $P{\bar {6}}2m$ $P{\bar {6}}2c$	${\ Displaystyle D_ {3h}}$
191-194	$6/mmm$	cuatro	${\ estilo de visualización P6/mmm}$ ${\ estilo de visualización P6/mcc}$ $P6_{3}/mcm$ $P6_{3}/mmc$	${\ Displaystyle D_ {6h}}$
sistema cúbico
195-199	${\ estilo de visualización 23}$	5	${\ estilo de visualización P23}$ ${\ estilo de visualización F23}$ ${\ estilo de visualización I23}$ ${\ estilo de visualización P2_ {1} 3}$ ${\ estilo de visualización I2_ {1} 3}$	$T$	La estructura de un diamante es simétrica. $Fd{\bar {3}}m$
200-206	$m{\bar {3))$	7	$PM{\bar {3))$ $Pn{\bar {3}}$ $FM{\bar {3))$ $Fd{\bar {3))$ $Estoy{\bar {3}}$ $papá{\bar {3))$ $Ia{\bar {3))$	$T_{h}$
207-214	${\ estilo de visualización 432}$	ocho	${\ estilo de visualización P432}$ ${\ estilo de visualización P4_ {2} 32}$ ${\ estilo de visualización F432}$ ${\ estilo de visualización F4_ {1} 32}$ ${\ estilo de visualización I432}$ ${\ estilo de visualización P4_ {3} 32}$ ${\ estilo de visualización P4_ {1} 32}$ ${\ estilo de visualización I4_ {1} 32}$	$O$
215-220	${\bar {4}}3m$	6	$P{\bar {4}}3m$ $F{\bar {4}}3m$ $yo{\bar {4}}3m$ $P{\bar {4}}3n$ $F{\bar {4}}3c$ $yo{\bar {4}}3d$	${\ Displaystyle T_ {d}}$
221-230	$m{\bar {3}}m$	diez	$Pm{\bar {3}}m$ $Pn{\bar {3}}n$ $PM{\bar {3}}n$ $Pn{\bar {3}}m$ $Fm{\bar {3}}m$ $Fm{\bar{3}}c$ $Fd{\bar {3}}m$ $Fd{\bar {3}}c$ $Im{\bar {3}}m$ $Ia{\bar {3}}d$	${\ estilo de visualización O_ {h}}$

En otras dimensiones

Las estructuras periódicas en el espacio unidimensional tienen solo dos tipos de simetría. Se pueden ilustrar con secuencias de caracteres:

... *- *- *- *- *- *- *- ... ... |^_^|^_^|^_^|^_^|^_^|^_^| ..

La primera secuencia infinita es simétrica solo con respecto a la traducción (por tres símbolos), la segunda secuencia también es simétrica con respecto a la reflexión.

En el espacio bidimensional, hay 17 tipos de simetría de estructuras periódicas.

El número de grupos de simetría de un espacio n-dimensional arbitrario se describe mediante la secuencia A006227 .

Clasificación posterior

Los grupos se pueden dividir en simórficos y no simórficos. Las simetrías simórficas son aquellas que se pueden formar por rotación alrededor de los ejes, así como por reflexión desde planos que pasan todos por un punto. Los grupos espaciales simórficos contienen, como subgrupos, grupos de simetría puntual correspondientes a la clase a la que pertenece el grupo espacial dado.

Los 230 grupos se pueden dividir en 32 clases. Cada clase tiene una simetría que deja fijo al menos un punto del espacio. El número de elementos en las clases varía de 1 a 28.

Las clases se pueden dividir en sistemas ( sygonies ). Hay 7 singonías. Cada syngony tiene al menos un grupo límite .

Véase también

Literatura

Tablas Internacionales de Cristalografía. Volumen A: Simetría de grupos espaciales / Editado por MI Aroyo. - Unión Internacional de Cristalografía, 2016. - ISBN 978-0-470-97423-0 .