Grupo cristalográfico

Grupo cristalográfico (grupo de Fedorov) - un grupo discreto de movimientos - espacio euclidiano dimensional , que tiene un área fundamental limitada . $norte$

Teorema de Bieberbach

Dos grupos cristalográficos se consideran equivalentes si están conjugados en el grupo de transformaciones afines del espacio euclidiano.

Los teoremas de Bieberbach

Cualquier grupo cristalográfico bidimensional contiene traslaciones paralelas linealmente independientes ; el grupo de partes lineales de las transformaciones (es decir, la imagen en ) es finito. $norte$ $\Gama$ $norte$ $GRAMO$ $\Gama$ $GL_{n}$
Dos grupos cristalográficos son equivalentes si y solo si son isomorfos como grupos abstractos.
Para cualquier , solo hay un número finito de grupos cristalográficos bidimensionales considerados hasta la equivalencia (que es una solución al problema 18 de Hilbert ). $norte$ $norte$

El teorema nos permite dar la siguiente descripción de la estructura de los grupos cristalográficos como grupos abstractos: Sea el conjunto de todas las traslaciones paralelas pertenecientes al grupo cristalográfico . Entonces es un subgrupo normal de índice finito, isomorfo y coincidente con su centralizador en . La presencia de tal subgrupo normal en un grupo abstracto también es una condición suficiente para que el grupo sea isomorfo a un grupo cristalográfico. $L$ $\Gama$ $L$ $\mathbb{Z} ^{n}$ $\Gama$ $\Gama$ $\Gama$

El grupo de partes lineales del grupo cristalográfico conserva la red ; en otras palabras, en la base reticular, las transformaciones de se escriben mediante matrices enteras. $GRAMO$ $\Gama$ $L$ $L$ $GRAMO$

Número de grupos

El número de grupos cristalográficos de espacio bidimensional con o sin conservación de la orientación viene dado por las secuencias A004029 y A006227 . Hasta la equivalencia, hay $norte$

17 grupos cristalográficos planos [1]
219 grupos cristalográficos espaciales;
- si consideramos grupos espaciales hasta la conjugación usando transformaciones afines que conservan la orientación , entonces habrá 230 de ellos.
En la dimensión 4, hay 4894 grupos cristalográficos que conservan la orientación, o 4783 sin conservación de la orientación [2] [3] .

Posibles simetrías

Elementos de punto

Elementos de simetría de figuras finitas que dejan al menos un punto fijo.

Ejes rotatorios de simetría, plano de simetría especular, centro de inversión (centro de simetría) y rotaciones impropias - ejes de inversión y ejes de rotación especular. Las rotaciones impropias se definen como rotaciones e inversiones sucesivas (o reflexiones en un plano perpendicular). Cualquier eje de rotación especular puede ser reemplazado por un eje invertido y viceversa. Al describir grupos espaciales, generalmente se da preferencia a los ejes de inversión (mientras que el simbolismo de Schoenflies usa ejes de rotación de espejo). En grupos cristalográficos bidimensionales y tridimensionales, solo pueden estar presentes rotaciones alrededor de los ejes de simetría en ángulos de 180 ° (eje de simetría de segundo orden), 120 ° (3er orden), 90 ° (4 ° orden) y 60 ° ( 6º orden). Los ejes de simetría en el simbolismo de Bravais se denotan con la letra L con un subíndice n correspondiente al orden del eje ( ), en el simbolismo internacional (simbolismo de Hermann-Mogen), con números arábigos que indican el orden del eje (por ejemplo, = 2 , = 3 y = 4). Los ejes de inversión en el simbolismo de Bravais se indican con la letra Ł con un índice numérico inferior n correspondiente al orden del eje de rotación ( Ł n ), en símbolos internacionales, con un índice digital con un guión sobre n (por ejemplo, Ł 3 = 3 , 4 £ = 4 , 6 £ = 6 ). Lea más sobre rotaciones impropias y su notación aquí . Los ejes de simetría L 3 , L 4 , L 6 se denominan ejes de simetría de orden superior [4] . El plano de simetría del espejo se designa P por Brava y m en el simbolismo internacional. El centro de inversión se designa C en Brava y 1 en símbolos internacionales. $L_{n}$ $L_{2}$ $L_{3}$ $L_{4}$

Todas las combinaciones posibles de elementos de simetría puntual conducen a grupos de simetría de 10 puntos en un espacio bidimensional y grupos de 32 puntos en un espacio tridimensional.

En el espacio de 4 dimensiones, aparece un nuevo tipo de elemento de simetría: rotaciones dobles en dos planos absolutamente perpendiculares . Esto aumenta el número de elementos de simetría compatibles con la simetría traslacional. Para espacios de dimensiones 4 y 5 en un cristal, son posibles elementos de simetría puntual con órdenes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 y 12. Además, dado que las rotaciones en cada uno de los planos absolutamente perpendiculares pueden ser realizado en diferentes direcciones, aparecen pares enantiomórficos de elementos de simetría puntual (por ejemplo, una rotación doble de cuarto orden, donde las rotaciones de 90° en el primer plano y 90° en el segundo plano se combinan enantiomórficamente en una rotación doble de cuarto orden, donde las rotaciones de 90° en el primer plano y −90° en el segundo plano se combinan en segundo lugar). Todas las combinaciones posibles de simetrías de puntos en el espacio de 4 dimensiones conducen a 227 grupos de puntos de 4 dimensiones, de los cuales 44 son enantiomórficos (es decir, se obtienen un total de 271 grupos de simetría de puntos).

En espacios de 6 y 7 dimensiones en un cristal, elementos de simetría puntual con órdenes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 y 30 son posibles [5] . Véase también en:Teorema de restricción cristalográfica .

Emisiones

En los grupos cristalográficos, las traducciones siempre están presentes: transferencias paralelas , cuando se desplazan mediante las cuales la estructura cristalina se combina consigo misma. La simetría traslacional de un cristal se caracteriza por la red de Bravais . En el caso tridimensional, son posibles 14 tipos de redes de Bravais en total. En las dimensiones 4, 5 y 6, el número de tipos de celosías de Bravais es 64, 189 y 841, respectivamente [6] . Desde el punto de vista de la teoría de grupos, un grupo de traducción es un subgrupo abeliano normal de un grupo espacial, y un grupo espacial es una extensión de su subgrupo de traducción. El grupo de factores del grupo espacial por el subgrupo de traducción es uno de los grupos de puntos.

Operaciones de simetría compleja

Rotaciones alrededor de los ejes con traslación simultánea de algún vector en la dirección de este eje (eje de tornillo) y reflexión relativa al plano con desplazamiento simultáneo de algún vector paralelo a este plano (plano de reflexión deslizante). En símbolos internacionales, los ejes helicoidales se designan por el número del eje de rotación correspondiente con un índice que caracteriza la cantidad de transferencia a lo largo del eje durante la rotación simultánea. Posibles ejes helicoidales en el caso 3D: 2 1 (rotación 180° y desplazamiento 1/2 traslación), 3 1 (rotación 120° y desplazamiento 1/3 traslación), 3 2 (rotación 120° y desplazamiento 2/3 traslación), 4 1 (girar 90° y cambiar 1/4 de traslación), 4 2 (rotar 90° y cambiar 1/2 de traslación), 4 3 (rotar 90° y cambiar 3/4 de traslación), 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 4 , 6 5 (girar 60° y desplazar 1/6, 2/6, 3/6, 4/6 y 5/6 de traslación, respectivamente). Los ejes 3 2 , 4 3 , 6 4 y 6 5 son enantiomórficos a los ejes 3 1 , 4 1 , 6 2 y 6 1 , respectivamente. Es debido a estos ejes que hay 11 pares enantiomórficos de grupos espaciales: en cada par, un grupo es una imagen especular del otro.

Los planos de reflexión de deslizamiento se designan según la dirección de deslizamiento con respecto a los ejes de la celda de cristal. Si se produce deslizamiento a lo largo de uno de los ejes, entonces el plano se indica con la letra latina correspondiente a , b o c . En este caso, la cantidad de deslizamiento es siempre igual a la mitad de la traducción. Si el desliz se dirige a lo largo de la diagonal de la cara o la diagonal espacial de la celda, entonces el plano se denota con la letra n en el caso de un desliz igual a la mitad de la diagonal, o d en el caso de un desliz igual a un cuarto de la diagonal (esto solo es posible si la diagonal está centrada). Los planos n y d también se denominan planos de cuña. Los planos d a veces se denominan planos de diamante porque están presentes en la estructura del diamante (diamante inglés - diamante).

En algunos grupos espaciales hay planos en los que el deslizamiento se produce tanto a lo largo de un eje como a lo largo del segundo eje de la celda (es decir, el plano es a y b o a y c o b y c ). Esto se debe al centrado de la cara paralela al plano de deslizamiento. En 1992, se introdujo el símbolo e para estos aviones . [7] Nikolai Vasil'evich Belov también sugirió introducir la notación r para planos con deslizamiento a lo largo de la diagonal espacial en una celda romboédrica. Sin embargo, los planos r siempre coinciden con los planos especulares ordinarios y el término no se ha popularizado.

Notación

Numeración

Los grupos cristalográficos (espaciales) con todos sus elementos de simetría inherentes se resumen en el libro de referencia internacional International Tables for Crystallography , publicado por la Unión Internacional de Cristalografía . Se acepta utilizar la numeración dada en este manual. Los grupos están numerados del 1 al 230 en orden creciente de simetría.

El simbolismo de Herman-Mogen

El símbolo de grupo espacial contiene el símbolo de red de Bravais (letra mayúscula P, A, B, C, I, R o F) y el símbolo de grupo de puntos internacional. El símbolo de la red de Bravais denota la presencia de nodos de traducción adicionales dentro de la celda elemental: P (primitivo) — celda primitiva; A, B, C (centrado en A, centrado en B, centrado en C): un nodo adicional en el centro de la cara A, B o C, respectivamente; I (centrado en I) - centrado en el cuerpo (nodo adicional en el centro de la celda), R (centrado en R) - centrado en el cuerpo dos veces (dos nodos adicionales en la diagonal mayor de la celda elemental), F (F- centrado) - centrado en la cara (nodos adicionales en los centros de todas las caras).

El símbolo internacional del grupo de puntos generalmente se forma a partir de tres símbolos que denotan los elementos de simetría correspondientes a las tres direcciones principales en la celda de cristal. Se entiende por elemento de simetría correspondiente a una dirección, o un eje de simetría que pasa por esta dirección, o un plano de simetría perpendicular a él, o ambos (en este caso se escriben mediante una fracción, por ejemplo, 2/c es el eje de simetría de segundo orden y el plano de reflexión rasante perpendicular a él con un desplazamiento en la dirección c ). Las direcciones principales son:

direcciones de los vectores base de una célula en caso de singonía triclínica, monoclínica y rómbica;
la dirección del eje de 4° orden, la dirección de uno de los vectores base en la base de la celda unitaria y la dirección a lo largo de la diagonal de la base de la celda en el caso de una singonía tetragonal;
la dirección del eje de tercer o sexto orden, la dirección de uno de los vectores base en la base de la celda elemental y la dirección del vector a lo largo de la diagonal de la celda elemental en un ángulo de 60° con respecto al anterior uno en el caso de un sistema hexagonal (esto también incluye el sistema trigonal, que en este caso se da a la orientación hexagonal de la celda unitaria);
la dirección de uno de los vectores base, la dirección a lo largo de la diagonal espacial de la celda elemental y la dirección a lo largo de la bisectriz del ángulo entre los vectores base.

Los símbolos de Hermann-Mogen generalmente se abrevian eliminando las designaciones de los elementos de simetría que faltan en direcciones individuales, cuando esto no crea ambigüedad, por ejemplo, escriben P4 en lugar de P411. Además, en ausencia de ambigüedad, se omiten las designaciones de los ejes de segundo orden, que son perpendiculares al plano de simetría, por ejemplo, se reemplaza C por . ${\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}{\tfrac {2}{m}}$ $Cmmm$

Símbolo de Schoenflies

El símbolo de Schoenflies define la clase de simetría (símbolo principal y subíndice) y el número condicional del grupo dentro de esta clase (superíndice).

C n - grupos cíclicos - grupos con una sola dirección especial representada por un eje de rotación de simetría - se denotan con la letra C , con un subíndice n correspondiente al orden de este eje.

Con ni - los grupos con un solo eje de simetría de inversión van seguidos de un subíndice i .
C nv (del alemán vertical - vertical): también tiene un plano de simetría ubicado a lo largo del único o principal eje de simetría, que siempre se considera vertical.
C nh (del alemán horizontal - horizontal) - también tiene un plano de simetría perpendicular al eje de simetría principal.

S 2 , S 4 , S 6 (del alemán spiegel - espejo) - grupos con un solo eje de simetría del espejo.

C s - para un plano de orientación indefinida, es decir, no fijo debido a la ausencia de otros elementos de simetría en el grupo.

D n - es un grupo C n con n ejes de simetría adicionales de segundo orden, perpendiculares al eje original.

D nh - también tiene un plano de simetría horizontal.
D nd (del alemán diagonal - diagonal) - también tiene planos de simetría diagonales verticales que van entre los ejes de simetría de segundo orden.

O, T - grupos de simetría con varios ejes de orden superior - grupos de singonía cúbica. Se denotan con la letra O si contienen el conjunto completo de ejes de simetría del octaedro, o con la letra T si contienen el conjunto completo de ejes de simetría del tetraedro.

O h y T h - también contienen un plano de simetría horizontal
T d - también contiene un plano diagonal de simetría

n puede ser 1, 2, 3, 4, 6.

Historia

El origen de la teoría de los grupos cristalográficos está asociado al estudio de la simetría de los ornamentos ( ) y las estructuras cristalinas ( ). La clasificación de todos los grupos cristalográficos planos (bidimensionales) y espaciales (tridimensionales) fue obtenida de forma independiente por Fedorov (1885), Schoenflies (1891) y Barlow (1894). Los principales resultados para grupos cristalográficos multidimensionales fueron obtenidos por Bieberbach [8] . $n=2$ $n=3$

Véase también

Notas

↑ Grupos de papel tapiz - de Wolfram MathWorld . Consultado el 8 de mayo de 2013. Archivado desde el original el 2 de junio de 2013. (indefinido)
↑ H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H. Wondratschek y H. Zassenhaus, Grupos cristalográficos del espacio de cuatro dimensiones. Wiley, Nueva York, 1978, pág. 52.
↑ J. Neubüser, B. Souvignier y H. Wondratschek, Corrections to Crystallographic Groups of Four-Dimensional Space de Brown et al. (1978) [Nueva York: Wiley and Sons], Acta Cryst (2002) A58, 301. http://journals.iucr.org/a/issues/2002/03/00/au0290/index.html Archivado el 18 de enero de 2012 en la Wayback Machine
↑ Yu. K. Egorov-Tismenko, G. P. Litvinskaya, Yu. G. Zagalskaya, Crystallography, ed. Universidad Estatal de Moscú, 1992, página 22.
↑ T. Janssen, JL Birman, V. A. Koptsik, M. Senechal, D. Weigel, A. Yamamoto, S. C. Abrahams y T. Hahn, Acta Cryst. (1999). A55, 761-782
↑ Opgenorth, J; Plesken, W; Schulz, T (1998), "Algoritmos y tablas cristalográficas", Acta Cryst. A 54(5): 517-531
↑ PM de Wolff, Y. Billiet, J. D. H. Donnay, W. Fischer, R. B. Galiulin, A. M. Glazer, Th. Hahn, M. Senechal, D. P. Shoemaker, H. Wondratschek, A. J. C. Wilson y S. C. Abrahams, 1992, Acta Cryst., A48, 727-732.
↑ Bieberbach L. Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Raume I.—Math. Ann., 1911, 70, S. 297-336; 1912, 72, págs. 400-412.

Literatura

J. Wolf, Espacios de curvatura constante. Traducción del inglés. Moscú: "Nauka", Edición principal de literatura física y matemática, 1982.
Yu.K. Egorov-Tismenko, G.P. Litvinskaya, Teoría de la simetría cristalina, M. GEOS, 2000 (disponible en línea http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834 )
Grupo cristalográfico // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1982. - T. 3: Koo - Od. - S. 106-108. - 1184 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
Kovalev V.O. Representaciones y presentaciones irreductibles e inducidas de los grupos de Fedorov. - M. : Nauka, 1986. - 368 p.

Enlaces

Grupo espacial : artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .