Bucle para colorear

La coloración de ciclos puede verse como un refinamiento de la coloración de gráficos ordinarios . El número cromático cíclico de un gráfico etiquetado se puede definir de las siguientes formas equivalentes (para gráficos finitos). $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {c} (G)}$

${\ estilo de visualización \ chi _ {c} (G)}$ es igual al ínfimo sobre todos los números reales tales que hay un mapeo de a un círculo con longitud igual a 1, con dos vértices adyacentes mapeados a puntos a una distancia a lo largo del círculo. $r$ ${\ estilo de visualización V (G)}$ ${\ estilo de visualización \ geqslant {\ tfrac {1} {r}}}$
${\ estilo de visualización \ chi _ {c} (G)}$ es igual al ínfimo sobre números racionales tales que hay un mapeo de a un grupo cíclico con la propiedad de que los vértices adyacentes se mapean a elementos a una distancia entre sí. ${\tfrac{n}{k))$ ${\ estilo de visualización V (G)}$ ${\mathbb {Z} }/n{\mathbb {Z} }$ ${\ estilo de visualización \ geqslant k}$
En un gráfico dirigido , definimos el desequilibrio del ciclo como el valor dividido por el menor del número de aristas en el sentido de las agujas del reloj y el número de aristas en el sentido contrario a las agujas del reloj. Definimos el desequilibrio de un gráfico dirigido como el máximo desequilibrio sobre todos los ciclos. Ahora, es igual al desequilibrio mínimo sobre todas las orientaciones del gráfico . $C$ ${\ estilo de visualización | E (C) |}$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {c} (G)}$ $GRAMO$

Es relativamente fácil ver eso (usando la definición 1 o 2), pero, de hecho, . En este sentido, decimos que el número cromático cíclico afina al número cromático ordinario. ${\ estilo de visualización \ chi _ {c} (G) \ leqslant \ chi (G)}$ $\lceil \chi _{c}(G)\rceil =\chi (G)$

El ciclo de coloración fue definido originalmente por Vince [1] , quien lo llamó "coloración de estrellas".

La coloración del ciclo es dual al tema del flujo cero en ninguna parte y, además, la coloración del ciclo tiene un concepto dual natural de "flujo circulante".

Gráficas completas cíclicas

Gráfico circular completo
picos	norte
costillas	${\tfrac {n(n-2k+1)}{2)),$
Circunferencia	$\left\{{\begin{array}{ll}\infty &n=2k\\n&n=2k+1\\4&2k+2\leq n<3k\\3&{\text{de lo contrario))\end {matriz}}\derecha.$
número cromático	⌈n/k⌉
Propiedades	( n − 2k + 1) - Hamiltoniano circular transitivo de vértice regular

Para enteros tales que , un gráfico completo cíclico (también conocido como clique cíclico ) es un gráfico con muchos vértices y aristas entre elementos a una distancia entre sí. Es decir, los vértices son números y el vértice i es adyacente a: $n k$ ${\ Displaystyle n \ geqslant 2k}$ $K_{\tfrac {n}{k))$ ${\mathbb {Z} }/n{\mathbb {Z} }$ ${\ estilo de visualización \ geqslant k}$ ${\ estilo de visualización {0,1,...,''n''-1}}$

i+k,i+k+1,\dots,i+nk\mod n

Por ejemplo, es solo un gráfico completo K n , mientras que el gráfico es isomorfo al gráfico de ciclo . $K_{\tfrac{n}{1))$ $K_{\tfrac{2n+1}{n))$ $C_{2n+1}$

En tal caso, una coloración de ciclo, de acuerdo con la segunda definición anterior, es un homomorfismo en un gráfico de ciclo completo. La circunstancia crítica de estos grafos es que admite un homomorfismo a si y sólo si . Esto explica la notación, ya que si los números racionales y son iguales, entonces son homomórficamente equivalentes. Además, el orden del homomorfismo refina el orden dado por los gráficos completos en un orden denso y corresponde a los números racionales . Por ejemplo $K_{\tfrac{a}{b))$ $K_{\tfrac {c}{d))$ ${\tfrac {a}{b}}\leqslant {\tfrac {c}{d}}$ ${\tfrac{a}{b))$ ${\tfrac{c}{d))$ $K_{\tfrac{a}{b))$ $K_{\tfrac {c}{d))$ ${\ estilo de visualización \ geqslant 2}$

K_{\tfrac {2}{1}}\to K_{\tfrac {5}{2}}\to K_{\tfrac {7}{3}}\to \dots \to K_{\tfrac {3}{1}}\a K_{\tfrac {4}{1}}\a \puntos

O equivalente

K_{2}\a C_{5}\a C_{7}\a \puntos \a K_{3}\a K_{4}\a \puntos

El ejemplo de la figura puede interpretarse como un homomorfismo de la Flor snark a , que viene antes , que corresponde al hecho de que . ${\ estilo de visualización J_ {5}}$ $K_{\tfrac {5}{2}}\aprox. C_{5}$ $K_{3}$ ${\ estilo de visualización \ chi _ {c} (J_ {5}) \ leqslant 2.5 <3}$

Véase también

Rango cíclico

Notas

↑ Vicente, 1988 .

Literatura

Adam Nadalsky. Coloreado circular de grafos // Coloreados de grafos. — Providence, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc., 2004. - T. 352. - S. 123-137. - (Matemáticas Contemporáneas). -doi : 10.1090 / conm/352/09 .
Número cromático de Vince A. Star // Journal of Graph Theory. - 1988. - T. 12 , núm. 4 . — S. 551–559 . -doi : 10.1002 / jgt.3190120411 .
Zhu X. Número cromático circular, una encuesta // Matemáticas discretas. - 2001. - T. 229 , núm. 1-3 . — S. 371–410 . - doi : 10.1016/S0012-365X(00)00217-X .