Números de Stirling de segunda clase

En combinatoria , el número de Stirling del segundo tipo de n a k , denotado por o , es el número de particiones desordenadas de un conjunto de n elementos en k subconjuntos no vacíos. $S(n,k)$ $\textstyle \lbrace {n \sobre k}\rbrace$

Representaciones recursivas

Los números de Stirling del segundo tipo satisfacen las relaciones recurrentes :

1) para .

S(n,k)=S(n-1,k-1)+k\cdot S(n-1,k)

0<k\leq n

2) .

S(n,k)=\sum \limits _{j=0}^{n-1}{\binom {n-1}{j}}S(j,k-1)

en condiciones iniciales naturales , at y at .

{\ estilo de visualización S (0,0) = 1}

S(n,0)=0

n>0

{\ estilo de visualización S (j, k) = 0}

{\ Displaystyle k> j}

Fórmula explícita

S(n,k)={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{{j=0}}^{k}(-1)^{{k+j}}{\binom { k}{j}}j^{n}.

Tabla de valores para $0\leq n,k\leq 9$

n\k	0	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9
0	una
una	0	una
2	0	una	una
3	0	una	3	una
cuatro	0	una	7	6	una
5	0	una	quince	25	diez	una
6	0	una	31	90	sesenta y cinco	quince	una
7	0	una	63	301	350	140	21	una
ocho	0	una	127	966	1701	1050	266	28	una
9	0	una	255	3025	7770	6951	2646	462	36	una

Propiedades

$x^{n}=\sum_{{k=0}}^{n}S(n,k)\cdot (x)_{k},$ dónde $(x)_{k}=x(x-1)\cdots (x-k+1).$
$S(m,n)=\sum_{{i=n-1}}^{{m-1}}{\binom {m-1}{i}}\,S(i,n-1)$
$\sum_{{m=0}}^{n}S(n,m)=B_{n}$ es el número de Bell .

Véase también

Enlaces

Weisstein, Eric W. Stirling Number of the Second Kind (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
D. Beleshko Combinatoria (parte 2) . Universidad Estatal de San Petersburgo ITMO.