Partición conjunto

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 23 de febrero de 2020; la verificación requiere 1 edición .

La partición de un conjunto es su representación como la unión de un número arbitrario de subconjuntos no vacíos que no se intersecan por pares .

Definición

Sea un conjunto arbitrario . Una familia de conjuntos no vacíos , donde hay algún conjunto de índices ( finito o infinito ), se llama partición si: $X$ $\{U_{{\alfa }}\}_{{\alfa \en A}}$ $A$ $X$

$U_{{\alpha }}\cap U_{{\beta }}=\emptyset$ para cualquier tal que ; $\alfa,\beta\en A$ $\alfa \not=\beta$
$X=\bigcup \limits_{{\alpha \in A}}U_{{\alpha }}$ .

En este caso, los conjuntos se denominan bloques o partes de una partición de un conjunto dado . $\ U_{{\alfa ))$ $X$

Particiones de conjuntos finitos

Las particiones de conjuntos finitos, además de contar el número de particiones diferentes que satisfacen ciertas condiciones, son de particular interés en combinatoria . En particular, algunas funciones combinatorias surgen naturalmente como números de particiones de un tipo u otro.

Por ejemplo, el número de Stirling de segunda especie es el número de particiones desordenadas de un conjunto de n elementos en m partes, mientras que el coeficiente multinomial expresa el número de particiones ordenadas de un conjunto de n elementos en m partes de un tamaño fijo . El número de todas las particiones desordenadas de un conjunto de n elementos viene dado por el número de Bell . $S(n,m)$ $\textstyle {\binom {n}{k_{1},\ k_{2},\ \puntos,\ k_{m))}$ $k_{1},k_{2},\puntos,k_{m}$ $B_{n}$

Ejemplos

$\mathbb {Z} =(2\mathbb {Z} )\cup (2\mathbb {Z} +1)$ , donde son los conjuntos de todos los enteros , enteros pares y enteros impares, respectivamente; $\mathbb {Z} ,2\mathbb {Z} ,2\mathbb {Z} +1$
El conjunto de todos los números reales se puede representar como: ; $\matemáticas {R}$ ${\mathbb {R}}=\cup _{{n\in {\mathbb {Z}}}}[n,n+1)$
Un conjunto de tres elementos se puede dividir de cinco maneras: , , , , significa el número de Bell . $\{a B C\}$ $\{\{a B C\}\}$ $\{\{a B C\}\}$ $\{\{b\},\{a,c\}\}$ $\{\{taxi\}\}$ $\{\{a B C\}\}$ $B(3)=5$

Partición conjunto

Definición

Particiones de conjuntos finitos

Ejemplos

Véase también