Números épsilon

Los números épsilon son ordinales introducidos por el matemático alemán Gerg Kantor y son puntos fijos de una función , es decir, que satisfacen la ecuación donde es el primer ordinal transfinito. Los números épsilon se pueden definir de la siguiente manera (como suprema de las secuencias transfinitas ): $f(\alpha )=\omega ^{\alpha },$ $\varepsilon =\omega^{\varepsilon},$ $\omega$

$\varepsilon _{0}=\sup\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega )),\omega ^{\omega ^{ \omega ^{\omega ))},...\};$
$\varepsilon _{\alpha +1}=\sup\{\varepsilon _{\alpha }+1,\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1},\omega ^{\omega ^{ \varepsilon _{\alpha }+1)),\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\alpha }+1))},...\};$
${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\sup\{\varepsilon _{\beta}|\beta <\alpha \))$ para el límite ordinal $\alfa.$

El ordinal más pequeño que es un punto fijo de una función se llama ordinal de Cantor y se denota como ${\ estilo de visualización f (\ alfa) = \ varepsilon _ {\ alfa},}$ ${\ estilo de visualización \ zeta _ {0}.}$

{\ Displaystyle \ zeta _ {0} = \ sup \ {0, \ varepsilon _ {0}, \ varepsilon _ {\ varepsilon _ {0}}, \ varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ varepsilon _ {0}} },\varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ varepsilon _ {\ varepsilon _ {0}}}},...\}.}

Posteriormente, en 1908, Oswald Veblen desarrolló una notación ordinal más poderosa, la jerarquía de funciones . Según la notación de Veblen . $\varphi _{\alfa}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {\ alfa} = \ varphi _ {1} (\ alfa)}$

Enlaces

JH Conway, Sobre números y juegos (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
Sección XIV.20 de Sierpiński, Wacław (1965), Números cardinales y ordinales (Segunda edición revisada), PWN - Editores científicos polacos