Kantor, Jorge

Georg Kantor ( alemán  Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor , 3 de marzo de 1845 , San Petersburgo  - 6 de enero de 1918 , Halle (Saale)) - Matemático alemán , alumno de Weierstrass . Él es mejor conocido como el creador de la teoría de conjuntos . Fundador y primer presidente de la Sociedad Matemática Alemana , iniciador de la creación del Congreso Internacional de Matemáticos .

Cantor primero definió la comparación de conjuntos arbitrarios , incluidos los infinitos, por su " cardinalidad " (una generalización del concepto de cantidad) a través de la noción de una correspondencia uno a uno entre conjuntos. Clasificó los conjuntos según su cardinalidad, definió los conceptos de números cardinales y ordinales , y la aritmética de los números cardinales y ordinales .

La teoría de los números transfinitos de Cantor se percibió inicialmente como una violación de las tradiciones centenarias establecidas por los antiguos griegos y que negaba el infinito real como un objeto matemático legal . Con el tiempo, la teoría de conjuntos de Cantor se puso sobre una base axiomática y se convirtió en la piedra angular en la construcción moderna de los fundamentos de las matemáticas , se basa en el análisis matemático , la topología , el análisis funcional , la teoría de la medida y muchas otras ramas de las matemáticas.

Biografía

Primeros años y formación

Kantor nació en 1845 en la colonia occidental de comerciantes de San Petersburgo y creció allí hasta los once años. Padre - Georg-Voldemar Kantor (1814, Copenhague  - 1863, Frankfurt ) - procedía de judíos portugueses asentados en Ámsterdam y era un súbdito danés de fe luterana , corredor en la Bolsa de Valores de San Petersburgo . Muchos de los parientes de mi padre han vivido durante mucho tiempo en San Petersburgo, empezando por mi bisabuelo. El primo de mi padre es el famoso abogado civil ruso D. I. Meyer . En los documentos rusos, Georg-Voldemar Kantor se llamaba Yegor Yakovlevich Kantor. Madre - Maria-Anna Böhm (1819, San Petersburgo - 1896, Berlín) - sobrina del famoso violinista húngaro-ruso Josef Böhm . El abuelo materno del matemático, Franz Böhm (1788-1846), también fue violinista. Desde 1850, P. L. Chebyshev [2] [3] , de 29 años, se instaló en la misma casa (línea 11, casa 24) en la isla Vasilyevsky , donde vivía la familia Kantor .

George era el primogénito, el mayor de seis hijos. Interpretó al virtuoso del violín, habiendo heredado importantes talentos artísticos y musicales de sus padres. El padre de familia escribió en 1851 sobre su hijo: "Está dotado por la naturaleza con un deseo de orden, prevaleciendo sobre todo lo demás". En 1853 Georg entró en Petrishula . Cuando el padre enfermó, la familia, contando con un clima más templado, se trasladó a Alemania en 1856: primero a Wiesbaden , y luego a Frankfurt [3] .

En 1860 Georg se graduó con honores en la escuela real de Darmstadt ; Los profesores notaron su habilidad excepcional en matemáticas, en particular, en trigonometría . En 1862 ingresó en el Instituto Politécnico Federal de Zúrich . Un año después murió su padre; Habiendo recibido una herencia sólida, Georg se transfirió a la Universidad Humboldt de Berlín , donde comenzó a asistir a conferencias de científicos tan famosos como Leopold Kronecker , Karl Weierstrass y Ernst Kummer . Pasó el verano de 1866 en la Universidad de Göttingen , el  mayor centro de pensamiento matemático de aquellos tiempos. En 1867, la Universidad de Berlín le otorgó un doctorado por su trabajo sobre teoría de números " De aequationibus secundi gradus indeterminatis ".

Comienzo de la actividad científica (1869-1878)

Después de un breve período como profesora en la Escuela de Niñas de Berlín, Kantor ocupó un lugar en la Universidad Martin Luther de Galia , donde desarrolló toda su carrera. Recibió la habilitación requerida para la docencia por su tesis doctoral sobre teoría de números. En 1872, Kantor conoció a Richard Dedekind , quien se convirtió en su amigo cercano y socio. Muchas de las ideas de Cantor se discutieron en correspondencia con Dedekind.

En un artículo de 1872, Kantor dio una variante de la fundamentación de la teoría de los números reales [4] . En su modelo, un número real se define como una clase de secuencias fundamentales de números racionales [5] . A diferencia de la definición newtoniana previamente aceptada de " aritmética universal ", el enfoque de Cantor era puramente matemático, sin referencia a la geometría u otros procedimientos de medición. Otra versión, también puramente matemática, fue publicada en el mismo año por Dedekind (estaba basada en " secciones de Dedekind ", véase Métodos constructivos para determinar un número real ) [6] .

En 1874, Kantor se casó con Vally Guttmann ( alemán:  Vally Guttmann ). Tuvieron 6 hijos, el último de los cuales nació en 1886 (4 hijas y dos hijos). A pesar de un salario académico modesto, Kantor pudo proporcionar a la familia una vida cómoda gracias a la herencia recibida de su padre. Los biógrafos señalan que incluso durante su luna de miel en las montañas de Harz , Kantor pasó mucho tiempo en conversaciones matemáticas con su amigo Dedekind. En el mismo 1874, Kantor publicó un artículo en el Krell Journal en el que introducía el concepto de cardinalidad de un conjunto y demostraba que hay tantos números racionales como números naturales , y muchos más números reales (por consejo de Weierstrass, esta conclusión revolucionaria se suavizó en el artículo) [7 ] .

Kantor fue nombrado profesor adjunto en 1872 y se convirtió en profesor titular en 1879. Fue un gran logro recibir este título a la edad de 34 años, pero Kantor soñaba con un puesto en una universidad más prestigiosa, por ejemplo, Berlín  , en ese momento la universidad líder en Alemania, pero sus teorías fueron seriamente criticadas y el la transición a otro lugar no fue posible [8] .

En 1877, Cantor obtuvo un resultado sorprendente, que informó en una carta a Dedekind: los conjuntos de puntos de un segmento y puntos de un cuadrado tienen la misma cardinalidad ( continuum ), independientemente de la longitud del segmento y el ancho del cuadrado. Al mismo tiempo, formuló y trató sin éxito de probar la " hipótesis del continuo ". El primer artículo de Kantor que presentó estos resultados clave apareció en 1878 y se tituló "Sobre la doctrina de las variedades" (el término "variedad" fue reemplazado más tarde por Cantor con "conjunto"). La publicación del artículo fue aplazada repetidamente a petición del indignado Kronecker , que dirigía el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Berlín [9] . Kronecker, considerado el precursor de las matemáticas constructivas , era hostil a la teoría de conjuntos de Cantor, ya que sus demostraciones son a menudo no constructivas, sin construir ejemplos concretos; Kronecker consideró absurdo el concepto de infinito real.

Kantor se dio cuenta de que la posición de Kronecker ni siquiera le permitiría dejar la Universidad de Galia. El propio Kantor era de la misma opinión que la mayoría de los matemáticos contemporáneos: cualquier objeto matemático consistente debería considerarse válido y existente [10] .

Conflictos de la teoría de conjuntos (1878–1889)

La teoría de conjuntos de Cantor se topó con fuertes críticas por parte de varios matemáticos contemporáneos famosos: Henri Poincaré [11] ; más tarde por Hermann Weyl y Leutzen Brouwer (ver Disputas sobre la teoría de Cantor ). Recordaron que antes de Cantor, todas las luminarias de las matemáticas, desde Aristóteles hasta Gauss , consideraban el infinito real como un concepto científico inaceptable [12] . La situación se vio agravada por el descubrimiento en la primera versión de la teoría de los conjuntos de contradicciones perniciosas . La crítica fue a veces muy agresiva: por ejemplo, Poincaré llamó al "cantorismo" una grave enfermedad que azotó a la ciencia matemática, y expresó la esperanza de que las generaciones futuras se curaran de ella [13] ; y en las declaraciones públicas de Kronecker y en los ataques personales a Kantor, a veces brillaban epítetos como "charlatán científico", "apóstata" y "corruptor de la juventud" [11] .

A las agudas críticas de algunos matemáticos prominentes se opuso la fama mundial y la aprobación de otros. En 1904, la Royal Society de Londres otorgó a Kantor su premio matemático más alto, la Medalla Sylvester [14] . El mismo Kantor creía que la teoría de los números transfinitos le había sido comunicada desde arriba [15] . Bertrand Russell elogió la teoría de conjuntos como "uno de los mayores éxitos de nuestra era", y David Hilbert llamó a Cantor "un genio matemático" y declaró: "Nadie puede expulsarnos del paraíso creado por Cantor" [16] .

En 1881, el colega de Cantor, Eduard Heine , murió , dejando un puesto vacante. La dirección de la universidad aceptó la oferta de Kantor de invitar a Richard Dedekind, Heinrich Weber o Franz Mertens (en ese orden) a este puesto, pero, para disgusto de Kantor, todos se negaron. Como resultado, el puesto fue ocupado por Friedrich Wangerin . En 1882, la comunicación de Cantor con Dedekind cesó, probablemente debido al resentimiento por la negativa de este último de su puesto en Halle [17] .

En 1883, Kantor publicó un artículo clave en su obra, "Fundamentos de la Doctrina General de las Variedades" [18] [19] . Al mismo tiempo, inició una activa correspondencia con Gösta Mittag-Leffler , un destacado matemático de la época, que vivía en Suecia, y pronto comenzó a publicar en su revista Acta mathematica . Sin embargo, en 1885, Mittag-Leffler se alarmó por los matices filosóficos y la nueva terminología en un artículo que Cantor le envió para su publicación [20] y le pidió a Cantor que retirara su artículo mientras aún se estaba revisando, escribiendo que el artículo era " adelantado a su tiempo por unos años". cien". Kantor accedió a retirar el artículo, pero nunca volvió a publicarlo en Acta Mathematica [21] [22] y cortó abruptamente las relaciones y la correspondencia con Mittag-Leffler. Kantor comenzó el primer período de depresión, y durante más de cinco años Kantor no publicó nada, excepto algunos artículos filosóficos, limitándose a la enseñanza [23] .

Últimos años (1889-1918)

Poco después de la restauración (1889), Cantor inmediatamente hizo varias adiciones importantes a su teoría, en particular, demostró la incontabilidad del conjunto de todos los subconjuntos de números naturales por el método de la diagonal, pero nunca alcanzó el mismo alto nivel de productividad que tuvo en 1874-1884. . Al final, se dirigió a Kronecker con una oferta de paz, que aceptó favorablemente. Sin embargo, las diferencias filosóficas y las dificultades que los separaban permanecieron. Mientras tanto, algunos matemáticos, especialmente los jóvenes, aceptaron la teoría de conjuntos, comenzaron a desarrollarla y aplicarla para resolver diversos problemas. Entre ellos se encuentran Dedekind, Hilbert, Felix Bernstein , Henri Lebesgue , Felix Klein , Adolf Hurwitz , Ernst Zermelo , N. N. Luzin y otros.

En 1890, Kantor ayudó a organizar la Sociedad Matemática Alemana ( en alemán:  Deutsche Mathematiker-Vereinigung ) y fue presidente de su primer congreso en Halle en 1891 ; en ese momento su reputación era muy estable incluso a pesar de la oposición de Kronecker, como resultado, Kantor fue elegido el primer presidente de la sociedad. Kantor invitó a Kronecker a hacer una presentación, pero no pudo aceptar la oferta debido a la trágica muerte de su esposa.

Periódicamente recurrentes desde 1884 hasta el final de los días de Kantor, los ataques de depresión fueron durante algún tiempo culpados de sus contemporáneos por tomar una posición demasiado agresiva [24] , pero ahora se cree que estos ataques probablemente fueron el desarrollo de una enfermedad mental [11 ] .

Un artículo de 1892 hizo la primera aparición del famoso método diagonal de Cantor . El último trabajo, una especie de testamento del científico, fue el artículo "Sobre la justificación de la doctrina de los conjuntos transfinitos" (en dos partes, 1895-1897). Esta es una de las obras más famosas de Cantor, en la que, además de los resultados anteriores de la teoría de conjuntos, se construye una jerarquía de alefs [25] .

En 1897, Cantor inició una intensa correspondencia con Hilbert sobre la primera contradicción descubierta en la teoría de conjuntos, la paradoja de Burali-Forti , que preocupó mucho a Hilbert. Kantor expresó la opinión de que en la teoría de conjuntos se debe distinguir entre dos tipos de conceptos: transfinito y absoluto ("inaccesible", como él lo expresó), de los cuales solo los primeros son susceptibles a la razón humana, y con respecto a los segundos, solo es posible una aproximación a su comprensión. Esta metafísica no convenció a Hilbert, en su opinión, no hay problemas matemáticos irresolubles y no puede ser. La discusión se prolongó durante dos años y no llegó a nada. La solución a las paradojas (que, sin embargo, no llegó a ser generalmente aceptada) se encontró solo 30 años después, tras el reemplazo de la "teoría ingenua de los conjuntos" de Cantor por una axiomática , que excluía los conjuntos "inaccesibles" del número de conceptos legales. [26] .

En diciembre de 1899, murió el hijo de 13 años de Kantor. La enfermedad mental de Kantor se agravó, la tercera parte casi terminada del artículo "Sobre la justificación de la doctrina de los conjuntos transfinitos" nunca fue completada. Hasta 1913, Kantor continuó enseñando en la universidad (de vez en cuando tomando largos descansos para recibir tratamiento), luego se retiró. Sus intereses después de 1899 giraron principalmente en torno a la filosofía de Leibniz y la cuestión de la autoría de las obras de Shakespeare , que habían fascinado a Kantor durante muchos años.

Georg Kantor murió el 6 de enero de 1918 de un infarto en un hospital psiquiátrico de Halle.

Algunos objetos que llevan el nombre de Kantor

• Kantor es un cráter de impacto en el lado oculto de la Luna.
• El conjunto de Cantor  es un conjunto continuo de medida cero en un segmento;
• La Medalla Kantor es un premio matemático otorgado por la Sociedad Matemática Alemana ;
• La función de numeración de Cantor  es un mapeo del poder cartesiano del conjunto de números naturales en sí mismo;
• el teorema de Cantor de que la cardinalidad del conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado es estrictamente mayor que la cardinalidad del propio conjunto;
• Teorema de Cantor-Bendixon
• El teorema de Cantor-Bernstein sobre la equivalencia de los conjuntos A y B bajo la condición de que A sea equivalente a un subconjunto de B y que B sea equivalente a un subconjunto de A ;
• El teorema de Cantor-Heine sobre la continuidad uniforme de una función continua en un conjunto compacto ;
• Función de Cantor (escalera de Cantor).

Composiciones

• Cantor G. Gesammelte Abhandlungen und philosophischen Inhalts / Hrsg. von E. Zermelo. B, 1932.
• Kantor G. Procedimientos sobre la teoría de conjuntos. — M .: Nauka, 1985. — 431 p. - (Clásicos de la ciencia).

Notas

1. ↑ Genealogía matemática  (inglés) - 1997.
2. ↑ Sinkevich, 2012 , Capítulo 1.
3. ↑ 1 2 Sinkevich, 2018 , pág. 182-188.
4. ↑ Cantor. Procedimientos sobre la teoría de conjuntos, 1985 , p. 9-10.
5. ↑ Arnold I. V. Aritmética teórica. - M. : UCHPEDGIZ, 1938. - S. 277-278.
6. ↑ Pinheiro, 2015 , pág. 91-92.
7. ↑ Pinheiro, 2015 , pág. 37-56.
8. ↑ Dauben, 1979 , pág. 163.
9. ↑ Dauben, 1979 , pág. 34.
10. ↑ Pinheiro, 2015 , pág. 109.
11. ↑ 1 2 3 Dauben, 2004 , pág. una.
12. ↑ Pinheiro, 2015 , pág. 22-31.
13. ↑ Dauben, 1979 , pág. 266.
14. ↑ Dauben, 1979 , pág. 248.
15. ↑ Dauben, 2004 , pág. 8, 11; 12-13.
16. ↑ Pinheiro, 2015 , pág. 118.
17. ↑ Dauben, 1979 , pág. 2-3.
18. ↑ Nuevas ideas en matemáticas. - San Petersburgo. : Educación, 1914. - T. 6. - S. 1-77 ..
19. ↑ Cantor. Procedimientos sobre la teoría de conjuntos, 1985 , p. 389 (bibliografía).
20. ↑ Dauben, 1979 , pág. 138.
21. ↑ Al mismo tiempo, Kantor apuntó en una de sus cartas: "...según Mittag-Leffler, ¡tengo que esperar hasta 1984, lo que me parece una petición demasiado grande! .. Pero claro, de ahora en adelante nunca quiero saber nada sobre "Acta mathematica"".
22. ↑ Dauben, 1979 , pág. 139.
23. ↑ Dauben, 1979 , pág. 282.
24. ↑ Dauben, 1979 , pág. 280.
25. ↑ Pinheiro, 2015 , pág. 122.
26. ↑ Pinheiro, 2015 , pág. 144-145, 154-158.

Literatura

• Bogolyubov A. N. Kantor Georg // Matemáticas. Mecánica. Guía biográfica . - Kyiv: Naukova Dumka, 1983. - 639 p.
• Bourbaki N. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - M. : Ed. literatura extranjera, 1963.
• SM Nagorno. Kantor  // Nueva Enciclopedia Filosófica  : en 4 volúmenes  / anterior. ed. científica consejo de V. S. Stepin . — 2ª ed., corregida. y adicional - M.  : Pensamiento , 2010. - 2816 p.
• Katasonov VN Luchando con el Infinito: Aspectos Filosóficos y Religiosos de la Génesis de la Teoría de Conjuntos de G. Kantor . — M. : Martis, 1999. — 207 p. - 1500 copias.  — ISBN 5-7248-0067-5 .
• Pinheiro, Gustavo Ernesto. Lo incontable es contable. Jorge Kantor. Infinito en matemáticas // Ciencia. Las grandes teorías. - M. : De Agostini, 2015. - Edición. 30 . — ISSN 2409-0069 .
• Purket V., Ilgauds H. I. Georg Kantor / Per. con él. N. M. Fleischer. - Jarkov: Osnova, 1991. - 128 p.
• Sinkevich G. I. Georg Kantor y la Escuela Polaca de Teoría de Conjuntos. - San Petersburgo: Universidad Estatal de Arquitectura e Ingeniería Civil de San Petersburgo, 2012. - 349 p. - ISBN 978-5-9227-0360-4 .
• Sinkevich G. I. Georg Kantor de San Petersburgo. Infancia y antecedentes familiares. Investigación archivística // Investigación histórica y matemática . - M. : Janus-K, 2018. - No. 51 (16) . - S. 182-199 .
• Florensky P. A. Sobre los símbolos del infinito (Ensayo sobre las ideas de G. Kantor) // Obras en 4 volúmenes: Volumen 1. - M. : Pensamiento, 1994. - P. 79-128. - (Patrimonio filosófico: v. 122). — ISBN 5-244-00241-4 .
• Grattan-Guinness I. Hacia una biografía de Georg Cantor // Annals of Science. - 1971. - T. 27 . - S. 345-391 . -doi : 10.1080 / 00033797100203837 .

Enlaces

• Dauben Joseph W. Georg Cantor y el nacimiento de la teoría de conjuntos transfinitos  // En el mundo de la ciencia ( Scientific American , ed. rusa). - 1983. - Nº 8 (agosto) . - S. 76-86 .
• John J. O'Connor y Edmund F. Robertson .  Cantor , Jorge  _ _
• Dauben JW Georg Cantor: sus Matemáticas y Filosofía del Infinito . - Cambridge (Massachusetts): Harvard University Press, 1979. - 404 p. — ISBN 9780674348714 .
• Dauben JW Georg Cantor y la batalla por la teoría de conjuntos transfinitos . — Actas de la 9.ª Conferencia ACMS (Westmont College, Santa Bárbara, CA), págs. 1–22. — 2004.
• Perfil científico Archivado el 22 de diciembre de 2015 en Wayback Machine en la base de datos zbMATH .
• Sinkevich GI Georg Cantor de St. Petersburgo.

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