Número de rotación

En la teoría de sistemas dinámicos , una rama de las matemáticas , el número de rotación de un homeomorfismo de un círculo que conserva la orientación es el "número promedio de rotaciones por iteración" durante una larga iteración de un punto. Más precisamente, es el límite de la relación entre el "número de revoluciones" (definido de alguna manera) y el número de iteraciones.

Definición

Para una definición formal, en lugar de un homeomorfismo circular, se considera su levantamiento para cubrir el círculo con una línea . El número de corte de este levantamiento se define como el límite ${\ estilo de visualización f: S ^ {1} \ a S ^ {1}}$ $F:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $S^{1}=\mathbb {R} /\mathbb {Z}$

\tau (F)=\lim _{n\to \infty }{\frac {F^{n}(x)-x}{n)),

donde es un punto arbitrario. El número de rotación f se define entonces como $x\in \mathbb {R}$

\rho (f):=\tau (F)\mod 1\,\in \mathbb {R} /\mathbb {Z}

Propiedades

El número de rotación es un invariante de una conjugación topológica que conserva la orientación, e incluso una semiconjugación por mapeos de grado 1: si es un mapeo de grado 1 tal que , donde son homeomorfismos circulares, entonces los números de rotación y coinciden. $h:S^{1}\a S^{1}$ $f\circ h=h\circ g$ $f, g$ $F$ $gramo$
Como establece el teorema de Poincaré , el número de rotación es racional si y solo si el mapeo tiene un punto periódico.
El teorema de Denjoy establece que si un mapeo es C 2 -suave y su número de rotación es irracional, entonces es conjugado a una rotación por . $F$ $\rho (f)$ $F$ $\rho (f)$
El número de rotación depende continuamente del homeomorfismo: el mapeo es continuo. ${\ estilo de visualización \ rho: Homeo (S ^ {1}) \ a S ^ {1}}$

Literatura

Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la Teoría Moderna de los Sistemas Dinámicos / trad. De inglés. A. Kononenko con la participación de S. Ferleger. - M. : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .