Teorema Ergódico de Birkhoff-Khinchin

El teorema ergódico de Birkhoff-Khinchin establece que para un sistema dinámico que conserva la medida y una función integrable con respecto a esta medida en el espacio, para casi todos los puntos iniciales convergen las medias temporales que les corresponden. Además, si la medida invariante es ergódica , entonces para casi todos los puntos iniciales el límite es el mismo: la integral de la función sobre la medida dada. Este principio se formula como “el promedio temporal para casi todos los puntos iniciales es igual al espacial” [1] .

Redacción

Sea un mapeo que preserva la medida y sea la función on integrable con respecto a . Entonces los promedios de tiempo convergen a alguna función invariante : $f\dos puntos X\a X$ $\mu$ $\varphi$ $X$ $\mu$ $\varphi _{n}(x):={\frac {1}{n}}\sum_{{j=0}}^{{n-1}}\varphi (f^{j}(x) )$ ${\ bar {\ varfi}}$

\varphi _{n}(x):={\frac {1}{n}}\sum_{{j=0}}^{{n-1}}\varphi (f^{j}(x) ){\xrightarrow[ {n\to \infty }]{}}{\bar {\varphi}}(x),

además, la convergencia tiene lugar tanto en como en casi todas partes de la medida . $L_{1}(X,\;\mu )$ $\mu$

Conexión con la ley de los grandes números

La ley fuerte de los grandes números en la forma de Kolmogorov se puede obtener como consecuencia del teorema de Birkhoff-Khinchin. Es decir, dado que es claro que el resultado no depende de la implementación específica de variables aleatorias, podemos suponer que el espacio de probabilidad tiene la forma

\Omega =\mathbb{R} ^{\mathbb{N} }=\{\omega =(\omega_{1},\;\omega_{2},\;\ldots)\}

con la medida , y las variables aleatorias se ordenan como (la medida da la distribución de los valores de cualquiera de ). Entonces la medida es ergódica con respecto al desplazamiento a la izquierda, la transformación que la conserva $P=\mu ^{\mathbb{N} }$ $\xi _{n}(\omega )=\omega _{n}$ $\mu$ $\xi _{n}$ $PAGS$

T\colon (\omega_{1},\;\omega_{2},\;\ldots)\mapsto (\omega_{2},\;\omega_{3},\;\ldots).

Por otro lado, la función es integrable con respecto a , y . Por lo tanto, los promedios de Cesaro se pueden escribir como promedios de tiempo para un sistema dinámico : $\varphi =\xi _{1}$ $PAGS$ $\xi _{n}=\varphi \circ T^{{n-1}}$ $(\xi _{1}+\ldots +\xi _{n})/n$ $(\Omega,\;P,\;T)$

{\frac {1}{n}}(\xi _{1}(\omega )+\ldots +\xi _{n}(\omega ))={\frac {1}{n}}\sum _ {{j=0}}^{{n-1}}\varphi \circ T^{j}(\omega ).

Por lo tanto, en virtud del teorema de Birkhoff-Khinchin, es casi seguro que

{\frac {1}{n}}(\xi _{1}(\omega )+\ldots +\xi _{n}(\omega ))={\frac {1}{n}}\sum _ {{j=0}}^{{n-1}}\varphi \circ T^{j}(\omega ){\xrightarrow[ {n\to \infty }]{}}\int_{\Omega } \varphi \,dP=\int _{\mathbb{R} }x\,d\mu (x)={\mathbb {E}}\xi _{1}.

Esta es la conclusión de la ley fuerte de los grandes números.

Notas

↑ Dinámica no lineal y caos, 2011 , p. 177.

Literatura

Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos con una revisión de los logros recientes / Per. De inglés. edición A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .
Malinetsky G. G. , Potapov A. B. Dinámica no lineal y caos: conceptos básicos. - M. : Librokom, 2011. - 240 p. - ISBN 978-5-397-01583-7 .