Q-derivada

La derivada Q o derivada de Jackson es el análogo q de la derivada ordinaria , que fue propuesta por Frank Hilton Jackson. La derivada Q es la inversa de la integración q de Jackson . Otros tipos de derivada q se pueden encontrar en el artículo de K.S. Changa, VS Changa, S.T. Nama y H. J. Caná [1] .

Definición

La derivada Q de una función f ( x ) se define como

\left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.

y a menudo se escribe como . La derivada Q también se conoce como la derivada de Jackson . $D_{q}f(x)$

Formalmente, en términos del operador de desplazamiento de Lagrange en variables logarítmicas, esto es equivalente al operador

D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,

lo que lleva a la derivada habitual, → d ⁄ dx cuando q → 1.

El operador es obviamente lineal,

\displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.

La derivada Q tiene una regla del producto similar a la regla del producto derivado ordinario en dos formas equivalentes

\displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx) D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).

De manera similar, la q - derivada satisface la regla de división,

\displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x) {g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.

También existe una regla similar a la regla de diferenciación habitual para la superposición de funciones. deja _ Después ${\displaystyle g(x)=cx^{k))$

\displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).

La función propia de la derivada q es la función exponencial q e q ( x ).

Relación con derivadas ordinarias

La derivación Q se asemeja a la diferenciación ordinaria con curiosas diferencias. Por ejemplo, la q - derivada de un monomio es

\left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{ n-1}=[n]_{q}z^{n-1}

donde es el corchete q del número n . Tenga en cuenta que , por lo que la derivada ordinaria vuelve en el límite. ${\ estilo de visualización [n] _ {q))$ ${\ estilo de visualización \ lim _ {q \ a 1} [n] _ {q} = n}$

Para una función, la n-ésima q - derivada se puede dar como:

(D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!)}}{\frac {(q;q)_{ n }}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!

siempre que la n-ésima derivada usual de la función f exista en x = 0. Aquí está el símbolo q -Pochhammer , y es el q - factorial . Si la función es analítica, podemos usar la fórmula de Taylor para determinar ${\ estilo de visualización (q; q) _ {n})$ ${\ estilo de visualización [n] _ {q}!}$ $f(x)$ ${\ Displaystyle D_ {q} (f (x))}$

\displaystyle D_{q}(f(x))=\sum_{k=0}^{\infty}{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)! }}x^{k}f^{(k+1)}(x).

Q es un análogo de la expansión de Taylor de la función cerca de cero:

f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!)}}= \ suma _{n=0}^{\infty}(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}

Véase también

Derivada (matemáticas)
Inegral Jackson
Q función exponencial
Polinomios de diferencia Q
Cálculo cuántico
entropía de Tsallis

Notas

↑ Chung, Chung, Nam, Kang, 1994 .

Literatura

Jackson FH Sobre las funciones q y un operador de cierta diferencia // Trans. Roy. soc. Edin.. - 1908. - T. 46 . - S. 253-281 .
Exton H. q-Funciones y aplicaciones hipergeométricas. - Nueva York, Chichester: Halstead Press; Ellis Horwood, 1983. - ISBN 0853124914 .
Víctor Kac, Pokman Cheung. Cálculo Cuántico. - Springer-Verlag, 2002. - (Universitex). — ISBN 0-387-95341-8 .
Chung KS, Chung WS, Nam ST, Kang HJ Nueva derivada q y logaritmo q // Revista internacional de física teórica. - 1994. - T. 33 . — S. 2019-2029 .

Lectura para leer más

J. Koekoek, R. Koekoek, Una nota sobre el operador derivado q , (1999) ArXiv math/9908140
Thomas Ernst, La historia de q-Calculus y un nuevo método , (2001),