Teorema Egregio

El teorema Egregium (en latín, " teorema notable ") es un resultado históricamente importante en geometría diferencial demostrado por Gauss . En su formulación moderna, el teorema establece lo siguiente:

La curvatura gaussiana es una invariante interna de la superficie. En otras palabras, la curvatura gaussiana se puede determinar únicamente midiendo ángulos, distancias dentro de la superficie misma y no depende de su implementación específica en el espacio euclidiano tridimensional.

Existe una fórmula explícita que expresa la curvatura gaussiana en términos de la primera forma cuadrática , es decir, en términos de sus coeficientes y sus derivadas parciales de primer y segundo orden. Esta es la llamada fórmula de Brioschi [1] .

En algunos casos especiales, por ejemplo, en coordenadas semi-geodésicas , es decir, en coordenadas locales con la primera forma cuadrática de la forma

La curvatura gaussiana se expresa mediante una fórmula más simple

Esto es suficiente para la derivación del teorema.

El teorema se deriva de la fórmula de Gauss-Bonnet cuando se aplica a pequeños triángulos geodésicos. Sin embargo, la expresión de la curvatura gaussiana generalmente se demuestra hasta la fórmula de Gauss-Bonnet.

Historia

Gauss formuló el teorema de la siguiente manera (traducido del latín):

Así, la fórmula del artículo anterior implica un maravilloso teorema .

Si una superficie curva se despliega a lo largo de cualquier otra superficie, la medida de la curvatura en cada punto permanece sin cambios . El teorema es "notable" porque la definición del autor de la curvatura gaussiana utiliza la posición de la superficie en el espacio. Por lo tanto, es bastante sorprendente que el resultado no dependa de ninguna manera de la deformación isométrica.

Literatura

Notas

  1. ↑ Fórmula de Brioschi en Wolfram MathWorld . Consultado el 2 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 2 de mayo de 2021.