La axiomática de Alexandrov

La axiomática de Alexandrov es un sistema de axiomas de geometría euclidiana propuesto por Alexander Danilovich Alexandrov . Este axiomático se utilizó en parte en un libro de texto sobre geometría escrito por Alexandrov junto con Alex Leonidovich Werner y Valery Idelevich Ryzhik .

Axiomas

Objetos principales

puntos; denotado, por lo general: A, B, etc.
segmentos; denotado, por lo general: a, b, etc.

Relaciones básicas

El punto sirve como el final del segmento;
El punto se encuentra en el segmento (o, como dicen, se encuentra dentro del segmento);
Dos segmentos son iguales entre sí (o, de manera equivalente, un segmento es igual al otro).
Un segmento está contenido en un segmento (en la notación: ) si todos sus puntos son también puntos del segmento . $a$ $b$ $a\subconjunto b$ $b$
Segmentos , forman un segmento c (en la notación: ) si están contenidos en y no hay puntos que no les pertenezcan. $a$ $b$ ${\ estilo de visualización a \ taza b = c}$ $C$ $C$
Un segmento se separa a lo largo de un segmento desde su extremo si estos segmentos tienen un extremo común y uno está contenido en el otro. $a$ $b$ $A$ $A$
Dos segmentos de recta se intersecan si tienen un único punto en común.

Axiomas lineales

Axiomas de la comunicación

(axioma de existencia). Hay al menos un segmento; cada segmento tiene dos y sólo dos extremos; además, el segmento contiene otros puntos: puntos que se encuentran en el segmento.
(axioma de dibujar un segmento). Cualquier dos puntos pueden estar conectados por un segmento, y además, solo uno.
(axioma de división de segmentos). Cualquier punto que se encuentre sobre un segmento lo divide en dos segmentos, es decir, si C está sobre AB, entonces los segmentos AC, BC juntos forman un segmento AB y no tienen puntos comunes excepto C.
(axioma de los segmentos de conexión). Si el punto C se encuentra en el segmento AB y B se encuentra en CD, entonces los segmentos AB, CD forman el segmento AD.

Axiomas de igualdad

(axioma de postergación de un segmento). Para cualesquiera dos segmentos AB, MN, existe un solo segmento AC igual a MN y AB superpuesto.
(axioma de comparación). Dos segmentos iguales al mismo segmento son iguales entre sí.
(axioma de la suma). Si C sobre AB, C' sobre A'B' y AC = A'C' y BC = B'C' entonces AB = A'B'.
(Axioma de Arquímedes). Para cualquier segmento dado a, b = AB, existe un segmento que contiene a AB en el que hay puntos tales que $AA_{n}$ $A_1,\puntos,A_n$ $AA_{1}=A_{1}A_{2}=\puntos =A_{{n-1}}A_{n}=a$ .

Axioma de continuidad

Si hay una secuencia infinita de segmentos anidados, es decir, si existe un punto común a todos estos segmentos. $a_{1}\supset a_{2}\supset \puntos$

Axiomas planos

Los puntos de CD están en el mismo lado de a si el segmento CD no interseca ningún segmento que contenga a.

Los puntos A, B se encuentran en lados diferentes de a, si, por el contrario, el segmento AB corta cualquier segmento que contenga a.

(axioma de división del plano). Con respecto a cada segmento a dado, todos los puntos que no se encuentran en ningún segmento que contenga a se dividen en dos clases: una clase incluye los puntos que se encuentran en un lado de a, y la otra incluye los puntos que se encuentran en el otro lado de a, y en cada clase hay puntos.

Un ángulo es un par de segmentos con un extremo común, estos segmentos son los lados del ángulo, su extremo común es el vértice del ángulo. Si, además, cada uno de los segmentos se encuentra completamente de un lado del otro, es decir, todos sus puntos, excepto el extremo común, están de un lado, entonces el ángulo formado por los segmentos se llama ángulo real.

Llamamos a la barra transversal de un ángulo un segmento con extremos en los lados del ángulo. Los travesaños A B, A'B' de los ángulos O, O' son correspondientes si OA = O'A', OB = O'B'. Los ángulos son iguales si tienen barras transversales correspondientes iguales.

(axioma de posponer el ángulo). De cada segmento en un lado dado, desde su extremo dado, puede apartar un ángulo igual a un ángulo (real) dado. En este caso, puede utilizar cualquier travesaño y el ángulo será siempre el mismo.

Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen un lado en común y los demás forman juntos un segmento sin superponerse entre sí.

Un ángulo igual a su ángulo adyacente se llama ángulo recto.

(axioma de los segmentos paralelos) Si los segmentos AC, BD son iguales y van en la misma dirección desde el segmento AB en ángulo recto, entonces CD = AB.

Literatura

Aleksandrov A.D. Fundamentos de Geometría. — 1987.
Alexandrov AD Fundamentos mínimos de geometría // Siberian Mathematical Journal. - 1994. - T. 35 , N º 6 . — S. 1195–1209 . (Ruso)
Werner AL.A.D. Alexandrov y curso de geometría escolar // Estructuras matemáticas y modelado. - 2012. - Nº 25 . — P. 18–38 . (Ruso)