Suma algebraica

El complemento algebraico de un elemento de matriz es el número $\a_{{ij}}$ $\A$

\ A_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}M_{{ij}}

donde es un menor adicional , el determinante de la matriz obtenida a partir de la matriz original al eliminar la i -ésima fila y la j -ésima columna. $\M_{{ij}}$ $\A$

Propiedades

El complemento algebraico de un elemento es el coeficiente con el que este mismo elemento se incluye en el determinante de la matriz. Esto se confirma con el siguiente teorema:

Teorema (sobre la descomposición del determinante en una fila/columna). El determinante de la matriz se puede representar como una suma $A$

{\displaystyle \det A=\sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij))

Para un complemento algebraico, la siguiente afirmación es verdadera:

Lema sobre la falsa descomposición del determinante. La suma de los productos de los elementos de una fila (columna) y los correspondientes complementos algebraicos de los elementos de otra fila (columna, respectivamente) es igual a cero, es decir, para y . $\ \sum_{{j=1}}^{n}a_{{i_{1}j}}A_{{i_{2}j}}=\sum_{{i=1}}^{n} a_{{ij_{1}}}A_{{ij_{2}}}=0$ $i_{1}\neq i_{2}$ $j_{1}\neq j_{2}$

De estas declaraciones sigue el algoritmo para encontrar la matriz inversa :

reemplazar cada elemento de la matriz original con su complemento algebraico,
transponer la matriz resultante - como resultado, se obtendrá la matriz de unión ,
dividir cada elemento de la matriz de unión por el determinante de la matriz original.

Suma algebraica

Propiedades

Véase también