Matriz transpuesta

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 6 de junio de 2022; la verificación requiere 1 edición .

Una matriz traspuesta es una matriz que se obtiene a partir de la matriz original reemplazando filas por columnas. $A^{T}$ $A$

Formalmente, la matriz traspuesta para la matriz de tamaño es la matriz de tamaño , definida como . $A$ $m\veces n$ $A^{T}$ $n \veces m$ $A_{{ij}}^{T}=A_{{ji}}$

Por ejemplo,

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{({\mathrm {T}}}}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3\\2&4\ fin{bmatriz}}

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{({\mathrm {T}}}}\!\!\;\!=\,{\begin{bmatrix}1&3&5\ \2&4&6\end{matrizb}}\;

Es decir, para obtener una matriz transpuesta de la original, debe escribir cada fila de la matriz original como una columna en el mismo orden.

Propiedades de las matrices transpuestas

La matriz A dos veces transpuesta es igual a la matriz A original.

{\ estilo de visualización (A^{T})^{T}=A}

La suma transpuesta de matrices es igual a la suma de matrices transpuestas.

{\ estilo de visualización (A+B)^{T}=B^{T}+A^{T))

El producto transpuesto de matrices es igual al producto de las matrices transpuestas tomadas en orden inverso.

{\ estilo de visualización (AB) ^ {T} = B ^ {T} A ^ {T}}

Al transponer, puedes sacar un escalar.

{\displaystyle (\lambda A)^{T}=\lambda A^{T))

El determinante de la matriz transpuesta es igual al determinante de la matriz original.

\det A=\det A^{T}

Definiciones relacionadas

Matriz simétrica (matriz simétrica) es una matriz que satisface la relación. ${\ estilo de visualización S^{T}=S}$

Para que una matriz sea simétrica es necesario y suficiente que: $S$

la matriz era cuadrada ; $S$
los elementos simétricos con respecto a la diagonal principal eran iguales, es decir, . ${\displaystyle S_{ij}=S_{ji))$

La matriz antisimétrica (sesgo-simétrica) (antisimétrica, sesgada-simétrica) es una matriz que satisface la relación. $A^{T}=-A$

Para que una matriz sea antisimétrica es necesario y suficiente que: $A$

la matriz era cuadrada ; $A$
los elementos simétricos respecto a la diagonal principal eran iguales en valor absoluto y de signo opuesto, es decir, . $A_{ij}=-A_{ji}$

De ello se deduce que los elementos de la diagonal principal de la matriz antisimétrica son iguales a cero: . ${\ estilo de visualización A_ {ii} = 0}$

Para cualquier matriz cuadrada existe una representación , $METRO$ ${\ estilo de visualización M = S + A}$

donde es la parte simétrica y es la parte antisimétrica. $S={\frac{M+M^{T}}{2}}$ $A={\frac{MM^{T}}{2}}$

Véase también

Matriz transpuesta conjugada

Vectores y matrices

Vectores

Conceptos básicos	Vector en geometría Base base ortogonal Coordenadas vectoriales colinealidad ortogonalidad Dependencia lineal Espacio de columna
Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
Tipos de espacio	espacio vectorial espacio afín espacio euclidiano Espacio pseudo-euclidiano espacio normado espacio minkowski

matrices

Conceptos básicos	Multiplicación de matrices matriz transpuesta Matriz conjugada hermítica Matriz simétrica matriz inversa valor propio Polinomio característico de una matriz
Matrices especiales	Matriz de identidad Matriz cero Matriz diagonal matriz lambda
Descomposiciones de matrices	descomposición LU Descomposición de Cholesky descomposición QR descomposición LUP valor singular de descomposición Descomposición espectral de una matriz

Otro