Densidad asintótica

En teoría de números, la densidad asintótica  es una de las características que ayuda a estimar qué tan grande es un subconjunto del conjunto de números naturales .

Intuitivamente, sentimos que hay "más" números impares que cuadrados ; sin embargo, el conjunto de números impares no es realmente "más grande" que el conjunto de cuadrados: ambos conjuntos son infinitos y contables y, por lo tanto, pueden tener una correspondencia uno a uno entre sí. Obviamente, para formalizar nuestro concepto intuitivo, necesitamos una mejor manera.

Si elegimos al azar un número del conjunto , entonces la probabilidad de que pertenezca a A será igual a la razón del número de elementos del conjunto al número n . Si esta probabilidad tiende a cierto límite cuando n tiende a infinito, este límite se denomina densidad asintótica de A. Vemos que este concepto se puede considerar como la probabilidad de elegir un número del conjunto A . De hecho, la densidad asintótica (así como algunos otros tipos de densidad) se estudia en la teoría de números probabilísticos . 

La densidad asintótica es diferente, por ejemplo, de la densidad de secuencia . La desventaja de este enfoque es que la densidad asintótica no está definida para todos los subconjuntos de .

Definición

El subconjunto de números positivos tiene una densidad asintótica , donde , si el límite de la razón del número de elementos no excede , existe y es igual a .

Más estrictamente, si definimos para cualquier número natural la función de conteo como el número de elementos que no excede , entonces la igualdad de la densidad asintótica del conjunto con el número significa exactamente que

.

Densidades asintóticas superior e inferior

Sea  un subconjunto del conjunto de los números naturales, para cualquier , establecemos y .

Definimos la densidad asintótica superior de un conjunto como

donde lim sup es un límite parcial de la sucesión . también conocido como densidad superior

Del mismo modo, definimos , la densidad asintótica inferior como

Diremos que tiene una densidad asintótica si . En este caso, supondremos

Esta definición se puede reformular:

si el límite existe y es finito.

Una noción algo más débil de densidad = densidad de Banach superior ; tomar , definir como

Si escribimos un subconjunto como una secuencia creciente

después

y si el límite existe.

Ejemplos

mientras que el fondo

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