Densidad asintótica

En teoría de números, la densidad asintótica es una de las características que ayuda a estimar qué tan grande es un subconjunto del conjunto de números naturales . $\matemáticas {N}$

Intuitivamente, sentimos que hay "más" números impares que cuadrados ; sin embargo, el conjunto de números impares no es realmente "más grande" que el conjunto de cuadrados: ambos conjuntos son infinitos y contables y, por lo tanto, pueden tener una correspondencia uno a uno entre sí. Obviamente, para formalizar nuestro concepto intuitivo, necesitamos una mejor manera.

Si elegimos al azar un número del conjunto , entonces la probabilidad de que pertenezca a A será igual a la razón del número de elementos del conjunto al número n . Si esta probabilidad tiende a cierto límite cuando n tiende a infinito, este límite se denomina densidad asintótica de A. Vemos que este concepto se puede considerar como la probabilidad de elegir un número del conjunto A . De hecho, la densidad asintótica (así como algunos otros tipos de densidad) se estudia en la teoría de números probabilísticos . $\{1,2,\ldots,n\}$ $A\cap \{1,2,\ldots,n\}$

La densidad asintótica es diferente, por ejemplo, de la densidad de secuencia . La desventaja de este enfoque es que la densidad asintótica no está definida para todos los subconjuntos de . $\matemáticas {N}$

Definición

El subconjunto de números positivos tiene una densidad asintótica , donde , si el límite de la razón del número de elementos no excede , existe y es igual a . $A$ $\alfa$ $0\leqslant \alpha \leqslant 1$ $A$ $norte$ $norte$ $n\to\infty$ $\alfa$

Más estrictamente, si definimos para cualquier número natural la función de conteo como el número de elementos que no excede , entonces la igualdad de la densidad asintótica del conjunto con el número significa exactamente que $norte$ ${\ estilo de visualización un (n)}$ $A$ $norte$ $A$ $\alfa$

\lim \limits _{n\to +\infty }{\frac {a(n)}{n}}=\alpha

Densidades asintóticas superior e inferior

Sea un subconjunto del conjunto de los números naturales, para cualquier , establecemos y . $A$ $\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.$ $n\en \mathbb {N}$ $A(n)=\{1,2,\ldots,n\}\cap A$ $a(n)=|A(n)|$

Definimos la densidad asintótica superior de un conjunto como ${\overline {d}}(A)$ $A$

{\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}

donde lim sup es un límite parcial de la sucesión . también conocido como densidad superior ${\overline {d}}(A)$ $UNA.$

Del mismo modo, definimos , la densidad asintótica inferior como ${\subrayado {d}}(A)$ $A$

{\subrayado {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}

Diremos que tiene una densidad asintótica si . En este caso, supondremos $A$ ${\ estilo de visualización d (A)}$ ${\subrayado {d}}(A)={\overline {d}}(A)$ $d(A)={\overline {d}}(A).$

Esta definición se puede reformular:

d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n))

si el límite existe y es finito.

Una noción algo más débil de densidad = densidad de Banach superior ; tomar , definir como $A\subseteq \mathbb {N}$ ${\ estilo de visualización d ^ {*} (A)}$

d^{*}(A)=\limsup _{NM\rightarrow \infty }{\frac {|A\bigcap \{M,M+1,...,N\}|}{N- M+1}}

Si escribimos un subconjunto como una secuencia creciente $\matemáticas {N}$

{\displaystyle A=\{a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}<\ldots;n\in \mathbb {N} \))

después

{\subrayado {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n}}},

{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n))))

y si el límite existe. ${\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {n}{a_{n))))$

Ejemplos

Obviamente, d( ) $\matemáticas {N}$ = 1.

Si para algún conjunto A existe d ( A ), entonces para su complemento tenemos d ( A c ) = 1 - d ( A ).

Para cualquier conjunto finito de números positivos F tenemos d(F) = 0.

Si es el conjunto de todos los cuadrados, entonces d(A) = 0. ${\displaystyle A=\{n^{2};n\en \mathbb {N} \))$

Si es el conjunto de todos los números pares, entonces d(A) = 1/2. De manera similar, para cualquier progresión aritmética obtenemos d(A) = 1/ a . ${\displaystyle A=\{2n;n\in \mathbb {N} \))$ ${\displaystyle A=\{an+b;n\in \mathbb {N} \))$

Para el conjunto P de todos los primos , obtenemos d(P) = 0 (ver Teorema de distribución de números primos ).

El conjunto de todos los números sin cuadrados tiene densidad ${\ estilo de visualización {\ tfrac {6} {\ pi ^ {2}}}}$

La densidad del conjunto de números en exceso está entre 0,2474 y 0,2480.

El conjunto de números cuya representación binaria contiene un número impar de dígitos es un ejemplo de un conjunto que no tiene una densidad asintótica, ya que la densidad superior es ${\displaystyle A=\bigcup \limits _{n=0}^{\infty}\{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1\))$

{\overline {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m +1}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)))={\ fracción {2}{3}}\,,

mientras que el fondo

{\subrayado {d}}(A)=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m +2}-1}}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)))={\ fracción {1}{3}}\,.

Densidad asintótica

Definición

Densidades asintóticas superior e inferior

Ejemplos

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