Espacio infinito

Un espacio de dimensión infinita es un espacio vectorial con una dimensión infinitamente grande . El estudio de espacios de dimensión infinita y sus mapeos es la tarea principal del análisis funcional. Los espacios de dimensión infinita más simples son los espacios de Hilbert , que tienen propiedades más cercanas a los espacios euclidianos de dimensión finita [1] .

Definición

Un espacio vectorial lineal se llama de dimensión infinita si para cualquier número entero contiene un sistema linealmente independiente que consta de vectores [2] [3] . $N>0$ $norte$

Base

Para un espacio de dimensión infinita, hay varias definiciones de una base . Entonces, por ejemplo, la base de Hamel se define como un conjunto de vectores en un espacio lineal, de modo que cualquier vector espacial se puede representar como una combinación lineal finita de ellos de una manera única.

Para espacios vectoriales topológicos , se puede definir una base de Schauder . El sistema de elementos forma la base de Schauder del espacio si cada elemento se representa únicamente como una serie convergente [4] . La base de Schauder no siempre existe. ${\ estilo de visualización \ izquierda \ {e_ {k} \ derecha \))$ $mi$ ${\ estilo de visualización x \ en E}$ ${\displaystyle x=\sum _{k=1}^{\infty}c_{k}e_{k))$

Ejemplos

Espacio lineal de funciones continuas en un intervalo dado [2] .
Espacio de Hilbert formado por una secuencia infinita de números con una suma de cuadrados convergente [5] . ${\ estilo de visualización x = (\ xi _ {1},..., \ xi _ {k},...)}$ $\sum _{n=1}^{\infty}\xi _{n}^{2}<\infty$
El conjunto de todos los polinomios [6] .
El espacio de fase en la física estadística es casi de dimensión infinita. [7]
El espacio de las sucesiones sumables al cuadrado

Propiedades

Un espacio de dimensión infinita no es isomorfo a ningún espacio de dimensión finita [8] .

Véase también

espacio de dimensión finita

Notas

↑ Análisis funcional // Diccionario enciclopédico matemático / cap. edición Yu. V. Prokhorov . - M., Enciclopedia soviética , 1988. - p. 613-615
↑ 1 2 Efimov, 2004 , pág. 33.
↑ Shikin E. V. Espacios lineales y asignaciones. - M., Universidad Estatal de Moscú , 1987. - p. 17
↑ Crane, 1964 , pág. 74.
↑ Shilov, 1961 , pág. 182.
↑ Efimov, 2004 , pág. 42.
↑ Manin Yu.I. Las matemáticas como metáfora. - M., MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-287-9 . - Con. 148
↑ Efimov, 2004 , pág. 39.

Literatura

Efimov NV , Rozendorn E. R. Álgebra Lineal y Geometría Multidimensional. - M. : Fizmatlit, 2004. - 464 p. - ISBN 5-9221-0386-5 .
Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.
edición Grúa S.G. Análisis funcional. - M. : Nauka, 1964. - 424 p. - 17.500 ejemplares.