Espacio de dimensión finita

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Un espacio de dimensión finita es un espacio vectorial en el que hay una base finita: un sistema de vectores linealmente independiente generador (completo) . En otras palabras, en tal espacio existe un sistema finito de vectores linealmente independientes cuya combinación lineal puede representar cualquier vector del espacio dado.

Una base es (simultáneamente) tanto un sistema generador mínimo (completo) como un sistema de vectores linealmente independiente máximo. Todas las bases contienen el mismo número de elementos, lo que se denomina dimensión del espacio vectorial .

Un espacio de dimensión finita en el que se introduce el producto escalar de sus elementos se denomina euclidiano . Un espacio de dimensión finita en el que se introduce la norma de sus elementos se denomina espacio normado de dimensión finita . La presencia de un producto interno o norma genera una métrica en un espacio de dimensión finita .

Propiedades de los espacios de dimensión finita

Cualquier elemento de un espacio de dimensión finita se puede representar de forma única en la forma $X$ $X$

x=a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+...+a_{n}e_{n},

$a_{1},a_{2},...,a_{n}\en \mathbb {P}$ donde es el campo (a menudo o ) sobre el que se considera el espacio , son los elementos de la base. Esto se sigue de la definición de una base. ${\mathbb P}$ $\matemáticas {R}$ $\matemáticas {C}$ $X$ $e_{1},e_{2},...,e_{n}\en X$

Además, cualquier base en el espacio euclidiano se puede hacer ortonormal usando la ortogonalización de Schmidt .

Todas las bases de un espacio de dimensión finita constan del mismo número de elementos. Esta propiedad da la corrección de la definición de la dimensión del espacio .
Sea un espacio de dimensión finita y sea un sistema de elementos linealmente independiente . Entonces este sistema siempre se puede complementar a una base . $X$ ${\ estilo de visualización \{x_{1},x_{2},...,x_{k}\}}$
Todos los espacios de dimensión finita de la misma dimensión son isomorfos entre sí.
En cualquier espacio de dimensión finita sobre un campo , se puede introducir un producto interno . Por ejemplo, en un espacio de base fija, dimensión , se puede ingresar el producto escalar según la regla: , donde son las componentes de los vectores y, respectivamente. De esta propiedad se sigue que en un espacio de dimensión finita sobre un campo se puede introducir una norma y una métrica . Como consecuencia, se puede obtener que: $\matemáticas {R}$ $X$ $norte$
${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,(x_{1},x_{2})=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\cdot b_{ k))$ ${\ estilo de visualización \ {a_ {k} \}, \ {b_ {k} \}}$ $x_{1}$ $x_{2}$
$\matemáticas {R}$
- $X$ es un espacio reflexivo [1] .
- El espacio
dual a algún espacio de dimensión finita es de dimensión finita y su dimensión coincide con la de . $X^{*}$ $X$ $X$
Para cualquier subespacio de un espacio de dimensión finita , existe un subespacio [2] tal que y se descompone en una suma directa de y , . $M\subconjunto X$ $X$ $M^{\perp}\subconjunto X$ $\forall x\in M,\forall y\in M^{\perp},x\perp y$ $X$ $METRO$ $M^{\perp}$ $X=M\oplus M^{\perp}$

En el espacio euclidiano toda sucesión débilmente convergente converge fuertemente.

Todas las normas en un espacio de dimensión finita sobre un campo son equivalentes. La convergencia en el espacio euclidiano es equivalente a la convergencia en coordenadas.

\matemáticas {R}

Cada operador continuo lineal en un espacio de dimensión finita se puede representar como una matriz .

El espacio sobre un campo es de dimensión finita si y solo si el operador de identidad es completamente continuo .

X

\matemáticas {R}

{\ estilo de visualización I: X \ flecha derecha X}

Un espacio es de dimensión finita si y sólo si sobre él actúa un operador invertible completamente continuo .

X

X

Un espacio es de dimensión finita si y solo si la bola unitaria es precompacta. Esta propiedad se puede reformular de la siguiente manera: un espacio es de dimensión finita si y solo si cualquier conjunto acotado es precompacto.

X

X

X

X

Cualquier operador lineal definido en un espacio de dimensión finita es continuo e incluso completamente continuo .

{\ estilo de visualización A: X \ flecha derecha Y}

X

En un espacio de dimensión finita, todo operador es unitario si y solo si es isométrico, es decir, conserva el producto escalar.

Ejemplos

El espacio euclidiano tiene una dimensión de 3, por su base se puede elegir un triple de vectores ${\mathbb E}^{3}$

\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix)),{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix)),{\begin {pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}

Un caso más general son los espacios de dimensión n . La norma en ellos suele fijarse de alguna de las siguientes formas ( ): $\mathbb{R} ^{n}$ $1\leq p<\infty$

\|x\|_{p}={\sqrt[{p}]{\sum _{i=1}^{n}{|x_{i}|^{p))))

\|x\|_{\infty}=\max _{i=1,2,\dots,n}{|x_{i}|}.

Si introducimos la norma y el producto escalar, entonces el espacio será euclidiano. ${\ estilo de visualización \|x\|_{2))$ $(x,y)={\sum _{i=1}^{n}{x_{i}y_{i))},$

$P^{n}$ es el espacio de todos los polinomios de grado como máximo . La dimensión de este espacio es . Los polinomios forman una base en él. $norte$ $n+1$ ${\ estilo de visualización 1, x, x ^ {2},..., x ^ {n}}$
Sea un espacio lineal arbitrario y sea un sistema de vectores linealmente independiente . Entonces, el tramo lineal que abarca este sistema es un espacio de dimensión finita. $X$ ${\ estilo de visualización \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$

Véase también

espacio infinito

Notas

↑ Este hecho se puede obtener tanto con la ayuda del teorema de Riesz-Fréchet , como por cálculos directos, sin utilizar la teoría de los espacios de Hilbert.
↑ a menudo se llama el complemento ortogonal de $M^{\perp}$ $METRO$

Literatura

Trenogin V. A. Análisis funcional. — M .: Nauka , 1980 . — 495 pág.
Halmos P. Espacios vectoriales de dimensión finita = Espacios vectoriales de dimensión finita. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 págs.
Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - 2do. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 pág.

Dimensión del espacio
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