Álgebra sigma de Borel

Un álgebra sigma de Borel es un álgebra sigma  mínima que contiene todos los subconjuntos abiertos de un espacio topológico (también contiene todos los cerrados ). Estos subconjuntos también se denominan Borel.

A menos que se indique lo contrario, la línea real actúa como un espacio topológico .

El álgebra sigma de Borel normalmente actúa como un álgebra sigma de eventos aleatorios en un espacio de probabilidad . El sigma-álgebra de Borel sobre una recta o sobre un segmento contiene muchos conjuntos "simples": todos los intervalos, medios intervalos, segmentos y sus uniones contables.

El nombre de Émile Borel .

Conceptos relacionados

• Un espacio de Borel  es un espacio topológico equipado con un álgebra sigma de Borel.
• Una función de Borel (Borel)  es un mapeo de un espacio topológico a otro (generalmente ambos son espacios de números reales ), para lo cual la imagen inversa de cualquier conjunto de Borel es un conjunto de Borel.
• Una medida de Borel  es una medida definida en todos los conjuntos abiertos (y por lo tanto en todos los Borel) de un espacio topológico.

Propiedades

• Cada conjunto de Borel en un intervalo es medible con respecto a la medida de Lebesgue , pero lo contrario no es cierto.

Un ejemplo de un conjunto medible de Lebesgue pero no de Borel

Cualquier subconjunto de un conjunto de medida cero es automáticamente medible según Lebesgue, pero dicho subconjunto no necesita ser Borel.

Considere una función en el intervalo , donde  es la escalera de Cantor . Esta función es monótona y continua, por lo que es medible. La función inversa a ella también es medible. La medida de la imagen del conjunto de Cantor es , ya que la medida de la imagen de su complemento es . Dado que la medida de la imagen de un conjunto de Cantor es distinta de cero, es posible encontrar en él un conjunto no medible . Entonces su imagen inversa será medible (ya que se encuentra en un conjunto de Cantor cuya medida es cero), pero no Borel (porque de lo contrario sería medible como la imagen inversa de un conjunto de Borel bajo un mapeo medible ).

Literatura

• V. G. Kanovei, V. A. Lyubetsky. Teoría de Conjuntos Moderna: Borel y Conjuntos Proyectivos . - MTsNMO, 2010. - 320 p. — ISBN 78-5-94057-683-9.