Fan de Knaster-Kuratovsky

El abanico de Knaster-Kuratovsky es un ejemplo de un subconjunto conectado del plano, la eliminación de un punto del cual lo hace completamente desconectado . Propuesto por los matemáticos polacos Knaster y Kuratowski [1] .

Edificio

Considere un rectángulo

S=[0;1]\times \left[0;{\tfrac {1}{2}}\right]

Construimos un conjunto de Cantor en su borde inferior y denotamos por el conjunto de puntos el conjunto de Cantor de primer tipo (es decir, los extremos de todos los intervalos remotos), y por todos los demás puntos desde . Sea este un segmento de línea que conecta punto a punto $C$ $A$ $B$ $C$ $L_c$ $c\en C$ $s=\left({\tfrac {1}{2));{\tfrac {1}{2}}\right).$

En estas notaciones, el abanico de Knaster-Kuratovsky es el conjunto , donde $X=Q\taza I$

{\displaystyle Q=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in A,\;y\in \mathbb {Q} \))

I=\{(x,y)\in S\mid (x,y)\in L_{c},\;c\in B,\;y\notin \mathbb {Q} \}.

Justificación

Demostremos que el conjunto presentado es conexo.

Supongamos que este no es el caso, es decir, hay conjuntos y tal que y al mismo tiempo . Para mayor precisión, supondremos que . Denote como un punto desde , con -coordenada igual a las coordenadas exactas de la cara superior de todos los puntos incluidos en . Si está vacío, supondremos que . Obviamente, no puede pertenecer a , porque de lo contrario este punto sería el límite para ambos y para , lo que contradice el supuesto de desconexión. Es decir, o . $Y$ $Z$ $X=Y\taza Z$ ${\overline {Y}}\cap Z=Y\cap {\overline {Z}}=\emptyset$ ${\ estilo de visualización s \ en Y}$ $u_{c}$ $L_c$ $y$ $y$ $Z\cap L_{c}$ $Z\cap L_{c}$ $u_{c}=c$ $u_{c}$ $X\setminus C$ $Y$ $Z$ $\forall c\in C\quad u_{c}\in A\subset X$ $u_{c}\notin X$

Sean todos los números racionales del intervalo , denotemos: ${\ estilo de visualización \ {r_ {i} \}}$ $[0; una]$

P_{i}=\{c\in B:\existe u_{c}=(x,r_{i})\},\quad P=\cup P_{i},\quad T=\{ c\en B:\;c=u_{c}\}

Entonces , eso es . Tenga en cuenta que no son densos en ninguna parte , de lo contrario habría un intervalo abierto cuya intersección con estaría en , pero tal intersección, por las propiedades del conjunto de Cantor, debe contener puntos de while . $B=T\taza P$ $C=A\taza T\taza P$ $Pi}$ $C$ $C$ $Pi}$ $A$ $P_{i}\subconjunto B=C\setminus A$

El conjunto es un conjunto de segunda categoría como espacio métrico completo; además, cualquier subconjunto abierto también es de la segunda categoría. Pero la primera categoría ( contable, y es una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte), lo que significa que cualquier subconjunto abierto debe contener puntos de ; es decir, firmemente en . $C$ $C$ $P\taza A$ $A$ $PAGS$ $C$ $T$ $T$ $C$

Ahora supongamos que . Debido a la densidad en , cualquier conjunto abierto que contenga , también contiene algún segmento del segmento para algunos . Por la definición de un conjunto , tenemos , lo que significa que . Tenemos una contradicción. Esto significa que la suposición de que el conjunto no está conectado es errónea. ${\ estilo de visualización z \ en Z}$ $T$ $C$ $z$ ${\ Displaystyle L_ {t}}$ $t\en T$ $T$ $(X\cap L_{t})\setminus \{t\}\subconjunto Y$ $z\in {\overline{Y}}$ $X$

Queda por demostrar que al quitar el punto se lo desconecta por completo. Supongamos que está conectado. Entonces debe estar enteramente dentro de algún segmento (de lo contrario estaría dividido en dos por algún segmento). Sin embargo, el conjunto está completamente desconectado y, por lo tanto, completamente desconectado. $s$ $X$ ${\displaystyle V\subconjunto X\setminus \{s\))$ $L_c$ $L_{c}\cap (X\setminus\{s\})$ $V$

Notas

↑ Knaster B., Kuratowski C. . Sur les ensembles connexes, Fondo. Matemáticas 2 (1921) págs. 206-255.

Literatura

Aleksandrov P.S., Pasynkov B.A. Introducción a la teoría de las dimensiones. Introducción a la teoría de los espacios topológicos ya la teoría general de la dimensión.
Steen, Seebach. Contraejemplos en topología