Ecuación de retorno

La ecuación de retorno es una ecuación algebraica en una variable de la forma

\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))=0 \Leftrightarrow a_{0}x^{2n+1}+a_{1}x^{2n}+a_{2}x^{2n-1}+\puntos

\puntos +a_{n-1}x^{n+2}+a_{n}x^{n+1}+\lambda ^{1}a_{n}x^{n}+\lambda ^{3}a_{n-1}x^{n-1}+\lambda ^{5}a_{n-2}x^{n-2}+\puntos

\dots +\lambda ^{2n-3}a_{2}x^{2}+\lambda ^{2n-1}a_{1}x+\lambda ^{2n+1}a_{0}= 0

por un grado impar y $2n+1$

\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))=0\Leftrightarrow a_{0} x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+a_{2}x^{2n-2}+\puntos

\puntos +a_{n-1}x^{n+1}+a_{n}x^{n}+\lambda ^{1}a_{n-1}x^{n-1}+ \lambda ^{2}a_{n-2}x^{n-2}+\lambda ^{3}a_{n-3}x^{n-3}+\puntos

\dots +\lambda ^{n-2}a_{2}x^{2}+\lambda ^{n-1}a_{1}x+\lambda ^{n}a_{0}=0

para un grado par , donde . Un polinomio recíproco es un polinomio que equivale a cero en la ecuación recíproca [1] . $2n$ $a_{0}\neq 0$

Forma alternativa de definir

Un polinomio de grado impar se llama recurrente si para alguna igualdad es verdadera para cualquier . Un polinomio de grado par se llama recurrente si para alguna la igualdad es verdadera para cualquier . $\sum \limits _{k=0}^{2n+1}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n+1}x^{2n+1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n+1$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ neq 0}$ ${\frac {a_{k}}{a_{(2n+1)-k}}}=\lambda^{2(nk)+1}$ $k$
$\sum \limits _{k=0}^{2n}(a_{k}x^{k})=$ ${\displaystyle a_{2n}x^{2n}+\puntos +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0))$ $2n$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{(2n)-k}}}=\lambda ^{(nk)))$ $k$

Casos especiales

Si , es decir, la secuencia de coeficientes del polinomio recurrente es simétrica (es un palíndromo ), la ecuación se llama simétrica o simétrica . Si estamos hablando de un polinomio involucrado en la ecuación, se llama simétrico (no confundir con un polinomio simétrico ) [1] . $\lambda=1$

Bajando el grado y encontrando raíces

Cualquier polinomio recurrente de grado impar tiene raíz y se representa como el producto de un polinomio lineal y un polinomio de grado par y recurrente. $\sum _{k=0}^{n}(a_{k}x^{k}(x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}))$ $2n+1$ $-\lambda$ ${\ estilo de visualización (x + \ lambda)}$ $\sum _{k=0}^{n}{\Grande (}a_{k}x^{k}{\Grande (}{\frac {x^{2n-2k+1}+\lambda ^{2n-2k+1}}{x+\lambda }}{\Grande)}{\Grande)}=$ ${\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits_{t=0}^{2n-2k}((-1) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Grande)))$ $2n$

Prueba

Probemos que el polinomio es recurrente. Se puede reescribir en la forma , y ahora los mismos están involucrados en la sumatoria . Entonces los coeficientes para y se dividen en pares y con iguales entre sí . La razón de los números de cualquier par es igual , por lo tanto, la razón de los coeficientes totales en y es igual al mismo número , lo que significa que de acuerdo con la definición alternativa anterior, nuestro polinomio es recurrente, y el número, cuyo papel en el polinomio original de grado impar jugado , juega aquí . ${\displaystyle \sum_{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}x^{k}\sum \limits_{t=0}^{2n-2k}((-1) ^{t}x^{t}\lambda ^{2n-2k-t}){\Grande)))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Big (}a_{k}\sum \limits _{t=k}^{2n-k}((-1)^{tk}x ^{t}\lambda ^{2n-kt}){\Grande)))$ $t$ ${\ Displaystyle {2n-t))$ $k$ ${\ estilo de visualización x ^ {t}}$ ${\ Displaystyle x^{2n-t}}$ ${\displaystyle a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt))$ ${\displaystyle a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^{2n-k-(2n-t)))$ $k$ ${\frac {a_{k}(-1)^{tk}\lambda ^{2n-kt)){a_{k}(-1)^{(2n-t)-k}\lambda ^ {2n-k-(2n-t)}}}=(-1)^{(tk)-((2n-t)-k)}\lambda ^{(2n-kt)-(2n-k-( 2n-t))}=$ $(-1)^{2(tn)}\lambda^{2(nt)}=$ ${\ estilo de visualización \ lambda ^ {2 (nt)))$ ${\ estilo de visualización x ^ {t}}$ ${\ Displaystyle x^{2n-t}}$ ${\ estilo de visualización \ lambda ^ {2 (nt)))$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización \ lambda ^ {2}}$

Considere ahora un polinomio recursivo de grado par . Por definición de un polinomio recursivo , por lo tanto, cero no es su raíz y se puede reescribir como , donde la suma se puede reescribir como un polinomio con respecto al grado de . $\sum _{k=0}^{n}(a_{nk}(x^{n+k}+x^{nk}\lambda ^{k}))$ $2n$ $a_{0}\lambda^{n}\neq 0$ ${\displaystyle x^{n}\sum _{k=0}^{n}{\Grande (}a_{nk}{\Grande (}x^{k}+{\Grande (}{\frac {\ lambda {x}}{\Grande)}^{k}{\Grande)}{\Grande)))$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Grande (}a_{nk}{\Grande (}x^{k}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x} }{\Grande)}^{k}{\Grande)}{\Grande)))$ ${\displaystyle t={\Grande (}x+{\frac {\lambda}{x}}{\Grande)))$ $norte$

Prueba

Probemos por inducción completa sobre que cualquier suma simétrica con respecto al reemplazo se puede reescribir como un polinomio con respecto a . base: . Transición: supongamos que esta afirmación es cierta para todas las potencias menores que la dada . La expresión es simétrica con respecto al reemplazo , y su diferencia c tiene el grado máximo de la variable y también es simétrica con respecto al reemplazo indicado, y por lo tanto, por el supuesto de inducción, se puede representar como un polinomio con respecto al grado . Entonces la expresión es la diferencia de las expresiones y , cada una de las cuales se representa como un polinomio con respecto al grado no mayor que , por lo tanto, la expresión misma también se representa como tal polinomio. Luego , donde la primera parte se representa como un polinomio con respecto al grado como máximo , como se demostró anteriormente, y la segunda parte se representa como un polinomio con respecto al grado como máximo . $norte$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda}{x}}$ ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\Grande (}a_{nk}{\Grande (}x^{k}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x} }{\Grande)}^{k}{\Grande)}{\Grande)))$ ${\displaystyle t={\Grande (}x+{\frac {\lambda}{x}}{\Grande)))$ $\sum _{k=0}^{1}{\Grande (}a_{nk}{\Grande (}x^{k}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x} }{\Grande)}^{k}{\Grande)}{\Grande)}=$ ${\Grande (}a_{1}{\Grande (}x^{0}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x}}{\Grande)}^{0}{\ Grande )}+{\Grande (}a_{0}{\Grande (}x^{1}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x}}{\Grande)}^{1}{ \Grande)}=$ $a_{0}{\Grande (}x+{\frac {\lambda}{x}}{\Grande)}+a_{1}=$ $a_{0}t+a_{1}$ $norte$ $t^{n}={\Grande (}x+{\frac {\lambda}{x}}{\Grande)}^{n}$ $x\leftrightarrow {\frac {\lambda}{x}}$ $x^{n}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x}}{\Grande)}^{n}$ $n-1$ $t$ $n-1$ $x^{n}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x}}{\Grande)}^{n}$ ${\Grande (}x+{\frac {\lambda}{x}}{\Grande)}^{n}$ ${\displaystyle {\Grande (}x+{\frac {\lambda }{x}}{\Grande)}^{n}-{\Grande (}x^{n}+{\Grande (}{\frac { \lambda }{x}}{\Grande )}^{n}{\Grande )))$ $t$ $norte$ $x^{n}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x}}{\Grande)}^{n}$ $\sum _{k=0}^{n}{\Grande (}a_{nk}{\Grande (}x^{k}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x} }{\Grande)}^{k}{\Grande)}{\Grande)}=$ ${\displaystyle a_{0}{\Grande (}x^{n}+{\Grande (}{\frac {\lambda}}{x}}{\Grande)}^{n}{\Grande)}+\ suma _ {k=0}^{n-1}{\Grande (}a_{nk}{\Grande (}x^{k}+{\Grande (}{\frac {\lambda }{x}}{ \Grande )}^{k}{\Grande )}{\Grande )))$ $t$ $norte$ $t$ $norte$

Habiendo encontrado todas las raíces de la ecuación resultante y resolviendo todas las ecuaciones de la forma con respecto a , obtenemos las raíces de la ecuación recíproca original . $t_{yo}$ $t_{i}=x+{\frac {\lambda}{x}}$ $X$ $x_{2i-1,\;2i}={\frac {t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda }}}{2}}$

Resolubilidad en radicales

Como se muestra arriba, las ecuaciones recíprocas de grados y se reducen a resolver ecuaciones de grado , que son resolubles en radicales hasta por el teorema de Abel-Ruffini . Además, la expresión que te permite obtener las raíces de la ecuación recíproca (excepto para un grado impar) a través de las raíces de la ecuación de grado obtenida anteriormente con respecto a es algebraica . Por lo tanto, las ecuaciones recíprocas que se reducen a ecuaciones con grado como máximo , son resolubles en radicales, y tales ecuaciones recíprocas incluyen aquellas cuyo grado no exceda de . $2n$ $2n+1$ $norte$ $n=4$ ${\Grande (}t_{i}\pm {\sqrt {t_{i}^{2}-4\lambda )){\Grande )}/2$ ${\ estilo de visualización (- \ lambda)}$ $norte$ $t$ $t$ $cuatro$ $9$

Notas

↑ 1 2 S. N. Olechnik, MK Potapov, P. I. Pasichenko. "Álgebra y los inicios del análisis. Ecuaciones y desigualdades"

Enlaces

El teorema fundamental para polinomios palindrómicos (inglés) en MathPages .