Conjetura de Erdős-Strauss

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La hipótesis de Erdős-Strauss  es una hipótesis de teoría numérica según la cual, para todos los números enteros, un número racional se puede representar como la suma de tres fracciones alícuotas (fracciones con una unidad en el numerador), es decir, hay tres números enteros positivos , y , tal que:

.

Formulado en 1948 por Pal Erdős y Ernst Strauss [1] .

La fuerza bruta de la computadora verificó la hipótesis para todos los números hasta [2] , pero la prueba para todos sigue siendo un problema abierto a partir de 2015 .

Restricciones

Números enteros , y no tienen por qué ser diferentes, pero si lo son, forman una fracción egipcia que representa el número . Por ejemplo, hay dos soluciones para:

.

La restricción sobre la positividad de los números , y es fundamental, porque si se permitieran los números negativos, el problema se tornaría trivial. Además, si es compuesto , entonces la solución para se puede encontrar inmediatamente a partir de las soluciones para o . Por esta razón, el contraejemplo más pequeño, si lo hay, debe ser un número primo y debe ser congruente con un miembro de una de las seis progresiones aritméticas infinitas módulo 840 [3] .

Para , no importa si los tres números , y deben ser diferentes o no; si hay una solución para tres enteros cualesquiera , y , entonces hay una solución con valores diferentes. Sin embargo, para el caso existe solución única hasta una permutación de los términos de la suma.

Historia

La búsqueda de expandir los números racionales en sumas de fracciones alícuotas se remonta a los matemáticos del antiguo Egipto , donde las fracciones egipcias se usaban para representar cantidades fraccionarias. Los egipcios inventaron tablas, como la tabla 2/n del papiro Ahmes , que contiene expansiones de fracciones 2/ n , la mayoría de las cuales contienen dos o tres términos. Las fracciones egipcias generalmente contienen la restricción adicional de que todas las fracciones deben ser distintas, pero para la conjetura de Erdős-Strauss esto no importa: si 4/ n se puede representar como no más de tres fracciones alícuotas, este número también se puede representar como una suma. de no más de tres fracciones alícuotas diferentes.

El codicioso algoritmo de las fracciones egipcias , descrito por primera vez en Fibonacci 1202 en su libro del ábaco , encuentra una factorización en la que cada término sucesivo es la fracción alícuota más grande que no supera al resto de la representación (la fracción original, menos los términos ya computados). Para fracciones de la forma 2/ n o 3/ n , el algoritmo voraz utiliza un máximo de dos o tres términos, respectivamente. Se puede demostrar que un número de la forma 3/ n tiene una descomposición en dos factores si y sólo si n tiene un factor congruente con 2 módulo 3, y se requieren tres fracciones en las otras expansiones [4] .

Por lo tanto, para los numeradores 2 y 3, la cuestión de cuántos términos se requieren en la suma de la fracción egipcia está completamente resuelta, y las fracciones de la forma 4/ n son el primer caso para el cual queda el número requerido de términos de la suma desconocido. El algoritmo voraz da sumas de dos, tres o cuatro términos, dependiendo del valor de n módulo 4. Si n es congruente con 1 módulo 4, el algoritmo voraz da una factorización de cuatro factores. Así, en el peor de los casos, la expansión de 4/ n debe tener tres o cuatro términos. La conjetura de Erdős-Strauss establece que en este caso, en cuanto al numerador 3, el número máximo de términos requeridos en la expansión es tres.

Comparación de módulos

Multiplicando ambos lados de la ecuación 4/ n = 1/ x + 1/ y + 1/ z por nxyz se obtiene la ecuación 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) [5] . Al ser una ecuación algebraica con variables enteras, la ecuación es un ejemplo de una ecuación diofántica . El principio de Hasse para las ecuaciones diofánticas establece que se puede obtener una solución entera de una ecuación diofántica como una combinación de soluciones enteras módulo todos los primos posibles . El principio hace poco por la conjetura de Erdős-Strauss, ya que la ecuación 4 xyz = n ( xy + xz + yz ) es fácilmente resoluble para cualquier congruencia módulo cualquier número primo. Sin embargo, la aritmética modular es una herramienta importante para el estudio de conjeturas.

Para un valor de n que satisfaga algunas congruencias , se puede encontrar una expansión para 4/ n directamente de la ecuación. Por ejemplo, para n ≡ 2 (mod 3), 4/ n tiene una descomposición

Aquí cada uno de los tres denominadores n , ( n − 2)/3 + 1 y n (( n − 2)/3 + 1) es un polinomio en n y cada uno será un número entero cuando n ≡ 2 (mod 3). El algoritmo codicioso para fracciones egipcias encuentra una solución de tres o menos términos si n no es 1 o 17 (mod 24), pero el caso n ≡ 17 (mod 24) está cubierto por el caso 2 (mod 3), por lo que el único caso para los cuales ambos métodos no dan expansión en tres o menos términos, este es el caso n ≡ 1 (mod 24).

Si fuera posible encontrar una solución como la anterior para otro módulo y formar así un sistema completo de comparación que cubra , el problema estaría resuelto. Sin embargo, como mostró Mordell [3] , las ecuaciones que proporcionan una solución para n congruente con r módulo p solo pueden existir para r que no es un residuo cuadrático módulo p . Por ejemplo, 2 no es un residuo cuadrático mod 3, por lo que la existencia de una identidad para variables n congruentes con 2 módulo 3 no contradice el resultado de Mordell, pero 1 es un residuo cuadrático mod 3, por lo que no puede haber una identidad similar para el valores n que son congruentes con 1 módulo 3.

Mordell enumeró identidades que proporcionan una descomposición de tres factores de 4/ n para los casos n ≡ 2 (mod 3) (como arriba), ≡ 3 (mod 4), ≡ 5 (mod 8), ≡ 2 o 3 (mod 5) ), ≡ 3, 5 o 6 (mod 7). Estas identidades cubren todos los casos en los que los números no son residuos cuadráticos en las bases indicadas. Sin embargo, para bases grandes no se conocen todos los residuos no cuadráticos que pueden ser cubiertos por relaciones de este tipo. De las identidades de Mordell, se puede deducir que hay soluciones para todo n , posiblemente excepto para 1, 121, 169, 289, 361 o 529 módulo 840. 1009 es el número primo más pequeño que no está cubierto por el sistema de congruencia. Al combinar identidades de módulos grandes, Webb (y otros) demostraron que el número de fracciones con un denominador en el intervalo [1, N ], que podría servir como contraejemplo a la conjetura, tiende a cero cuando N tiende a infinito [6] .

Contrariamente a los resultados de Mordell que limitan el uso de identidades, hay alguna esperanza de usar la aritmética modular para probar la conjetura. Ningún número primo puede ser un cuadrado, por lo que según el teorema de Hasse-Minkowski , si p  es primo, entonces hay un primo mayor q tal que p no es un residuo cuadrático mod q . Un método para probar el teorema es encontrar para cada primo p un primo q mayor y una congruencia que resuelva el problema 4/ n para n ≡ p (mod q ). Si esto tuviera éxito, se probaría que ningún primo sería un contraejemplo, y así se probaría la conjetura.

Verificación computacional

Varios autores han llevado a cabo una búsqueda directa de un contraejemplo. Estas búsquedas pueden acelerarse mucho si consideramos solo los números primos que no están cubiertos por las ecuaciones de comparación de módulos conocidas [7] . Las búsquedas realizadas por Allan Swett llevaron a la conclusión de que la hipótesis es verdadera para todo n hasta 10 14 [2] .

Número de soluciones

El número de soluciones diferentes al problema de 4/ n , como una función de n , también se encontró mediante la búsqueda por computadora de n pequeño , y resultó que la función crece de manera un tanto irregular. A partir de n = 3, el número de soluciones diferentes con diferentes denominadores es [8] :

1, 1, 2, 5, 5, 6, 4, 9, 7, 15, 4, 14, 33, 22, 4, 21, 9, ….

Incluso para n grande , hay casos con un número relativamente pequeño de soluciones. Entonces, para n = 73, solo hay siete soluciones.

Elsholtz y Tao [9] demostraron que el número promedio de soluciones al problema de descomposición 4/ n (promediado sobre el número de números primos hasta n ) está acotado desde arriba polilogarítmicamente en n . Para algunos otros problemas diofánticos es posible probar que existe una solución encontrando un límite inferior asintótico para el número de soluciones, pero este tipo de prueba existe principalmente para problemas con crecimiento polinomial en el número de soluciones, por lo que Elsholtz y El resultado de Tao hace que esta posibilidad sea poco probable [10] . La prueba de Elsholtz y Tao del límite en el número de soluciones se basa en el teorema de Bombieri-Vinogradov , el teorema de Brun-Tichmarsh y el sistema de igualdades de módulo válido para n congruente con − c o −1/ c módulo 4 ab , donde a y b  son dos enteros positivos coprimos y c es  cualquier factor impar de a + b . Por ejemplo, al establecer a = b = 1, obtenemos una de las identidades de Mordell, que es válida para n ≡ 3 (mod 4).

Soluciones en números negativos

La restricción de positividad , y es esencial. Suponiendo números negativos, la solución se puede obtener de forma trivial mediante las siguientes dos identidades:

y

Para n impar , hay una solución que contiene tres términos, uno de los cuales es negativo [11] :

Generalizaciones

La versión generalizada de la conjetura dice que para cualquier k positivo existe un número N tal que para cualquier n ≥ N existe una solución en enteros positivos de la ecuación k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z . Una versión de esta conjetura para k = 5 fue propuesta por Vaclav Sierpinski , y la versión completa de la conjetura se debe a Andrzej Schinzel [12] .

Incluso si la hipótesis generalizada falla para algún valor de k , el número de fracciones para k / n con n entre 1 y N que no tienen una expansión de tres términos debe crecer sublinealmente en función de N [6] . En particular, si la propia conjetura de Erdős-Strauss (caso k = 4) es falsa, entonces el número de contraejemplos crece solo de forma sublineal. Aún más fuerte, para cualquier k fijo , solo un número sublineal de valores de n requiere más de dos términos en la expansión de fracciones egipcias [13] . La versión generalizada de la conjetura es equivalente a la afirmación de que el número de fracciones indescomponibles no es solo sublineal, sino limitado.

Si n es impar, entonces por analogía con el problema de factorizar fracciones egipcias impares , uno puede preguntar acerca de las soluciones k / n = 1/ x + 1/ y + 1/ z , en las que x , y y z son diferentes números impares positivos. Se sabe que en este caso siempre existen soluciones para k = 3 [14] .

Notas

  1. ↑ Elsholtz, 2001 . La publicación más antigua es Erdős, 1950
  2. ↑ 12 Alan Swett . La conjetura de Erdos-Straus. (enlace no disponible) 
  3. ↑ 12 Mordell , 1967 .
  4. ↑ Epstein, 1995
  5. ↑ Véase, por ejemplo, Sander, 1994 para una formulación de ecuación diofántica simple bajo suposiciones sobre cuál de los números x , y o z es divisible por n .
  6. ↑ 12 Webb , 1970 ; Vaughan, 1970 ; li, 1981 ; Yang, 1982 ; Ahmadi, Bleicher, 1998 ; Elsholtz, 2001 .
  7. ↑ Obláth, 1950 ; Rosati, 1954 ; Beso, 1959 ; Bernstein , 1962 Yamamoto , 1965 Terzi, 1971 ; Jollensten 1976 ; Kotsireas, 1999 .
  8. ↑ Secuencia OEIS A073101 _
  9. ↑ Elsholtz, Tao, 2011 .
  10. ↑ Sobre el número de soluciones para 4/p = 1/n_1 + 1/n_2 + 1/n_3 Archivado el 4 de enero de 2015 en Wayback Machine , Terence Tao, "Novedades", 7 de julio de 2011.
  11. ↑ Jaroma, 2004 .
  12. ↑ Sierpinski, 1956 ; Vaughan, 1970 .
  13. ↑ Hofmeister, Stoll, 1985 .
  14. ↑ Schinzel, 1956 ; Suryanarayana, Rao, 1965 ; Hagedorn, 2000 .

Literatura

Enlaces