Hipótesis de Von Neumann
La conjetura de von Neumann es una conjetura refutada sobre la estructura de los grupos susceptibles .
Redacción
Cualquier grupo no susceptible contiene un subgrupo isomorfo a un grupo libre con dos generadores .
Historia
- En 1929, durante su trabajo sobre la paradoja de la bola doble , John von Neumann introdujo la noción de un grupo susceptible . Demostró que cualquier grupo que contenga un subgrupo libre de rango 2 no es susceptible. La conjetura de que lo contrario también es cierto la hicieron varios matemáticos en las décadas de 1950 y 1960.
- Aunque esta conjetura lleva el nombre de von Neumann, la primera publicación con su formulación la dio Mahlon Marsh Day en 1957.
- La alternativa de Tits , probada en 1972, da una respuesta positiva si el grupo es lineal, es decir, es un subgrupo de un grupo matriz sobre algún cuerpo.
- La hipótesis fue refutada por Olshansky en 1980. Mostró que el monstruo Tarski , que, como es fácil de ver, no tiene subgrupos libres de rango 2, no es manejable.
- Dos años más tarde, Adian mostró que ciertos grupos de Burnside también brindan contraejemplos.
- Un posible contraejemplo es el grupo F de Thompson , pero aún no se sabe si es manejable.
- Ninguno de los grupos enumerados anteriormente se da de forma finita . Durante varios años se ha pensado que tal vez la conjetura sea cierta para grupos presentados finitamente. Sin embargo, en 2003, Olshansky y Sapircontraejemplos construidos finitamente presentados.
- En 2012, Nicholas Monod encontró un simple contraejemplo a la conjetura.
- En 2013, Lodha y Moore encontraron subgrupos presentados finitamente en el ejemplo de Monod que también proporcionan un contraejemplo.
- El último ejemplo es el primer ejemplo sin torsión, admite una especificación con tres generadores y nueve relaciones.
- Lodha mostró más tarde que este grupo satisface la propiedad , es decir, su espacio K(G,n) tiene un número finito de celdas de cada dimensión.
Enlaces
- Adyan S. I. Paseos aleatorios en grupos periódicos libres // Izv. Academia de Ciencias de la URSS. Serie matemática. - T. 46 , n. 6 _ — S. 1139–1149 .
- Day, Mahlon M. (1957), Semigrupos susceptibles, Ill. Matemáticas J. T. 1: 509–544
- A. Yu. Olshansky. Sobre la cuestión de la existencia de una media invariable en un grupo // Uspekhi Mat . - 1980. - T. 35 , N° 4 (214) . - S. 199-200 .
- Ol'shanskii, A. y Sapir, M. (2003), Torsión por grupos cíclicos presentados finitamente no susceptibles , Publications Mathématiques de l'IHÉS Vol . 96 (1): 43–169 , DOI 10.1007/s10240-002 -0006-7
- Monod, N. (2013), Groups of piecewise proyective homeomorphisms , Actas de la Academia Nacional de Ciencias de los Estados Unidos de América Vol. 110 (12): 4524–4527 , doi 10.1073/pnas.1218426110
- Lodha, Y. & Moore, JT, Un grupo no susceptible de presentación finita de homeomorfismos proyectivos por partes
- Lodha, Y., Un grupo tipo de homeomorfismos proyectivos por partes