Grupo susceptible

Un grupo susceptible  es un grupo topológico G localmente compacto en el que es posible introducir una operación de promedio sobre funciones acotadas en este grupo que es invariante bajo la multiplicación por cualquier elemento del grupo.

Historia

El concepto fue introducido por John von Neumann en 1929 bajo el nombre alemán "messbar" ("medible"). La motivación fue la duplicación de la paradoja de la pelota .

La definición original se dio en términos de una medida invariante finitamente aditiva en subconjuntos del grupo G.

En 1949, Mahlon Day acuñó el término amenable (del inglés "obediente"), que se quedó [1] .

Definición de grupos localmente compactos

Considere un grupo G de Hausdorff localmente compacto con su medida de Haar . Considere un espacio de Banach en L ∞ ( G ) de funciones medibles acotadas .  

Definición 1. Un funcional lineal Λ en Hom( L ∞ ( G ), R ) se llama promedio si Λ tiene norma 1 y no es negativo, es decir, f ≥ 0 implica Λ( f ) ≥ 0 en casi todas partes .

Definición 2. Se dice que un promedio de Λ en Hom( L ∞ ( G ), R ) es invariante por la izquierda (respectivamente, invariante por la derecha ) si Λ( g f ) = Λ( f ) para todo g en G y f en L ∞ ( G ) con respecto a la izquierda (respectivamente, derecha) desplazamiento g f ( x ) = f( g −1 x ) (respectivamente, f g ( x ) = f ( x g −1 )).

Definición 3. Un grupo de Hausdorff localmente compacto se denomina susceptible si admite un promedio invariante por la izquierda (o invariante por la derecha).

Condiciones equivalentes

• La presencia de un punto fijo. Cualquier acción de un grupo por transformaciones afines sobre un subconjunto convexo compacto de un espacio vectorial topológico localmente convexo separable tiene un punto fijo.
• Criterio del día. Existe una secuencia de funciones no negativas integrables φ n con integral 1 en G tal que g φ n − φ n tiende a 0 en la topología débil en L 1 ( G ).
• Criterio de Reuter. Para cualquier subconjunto finito (o compacto) F de G , existe una función no negativa integrable φ con integral 1 tal que g φ − φ es arbitrariamente pequeño en L 1 ( G ) para cualquier g de F .
• El criterio de Glicksberg-Reiter. Para cualquier f en L 1 ( G ), la distancia entre 0 y el casco convexo cerrado en L 1 ( G ) de desplazamientos a la izquierda de f es |∫ f |.
• Criterio de Fölner. Para cada subconjunto finito (o compacto) F de G , existe un subconjunto medible U de G con una medida de Haar positiva finita tal que el valor es arbitrariamente cercano a 1.
• Criterio de Kesten . La convolución a la izquierda en L 2 ( G ) con una medida de probabilidad simétrica en G produce un operador de norma 1.
• Prueba de homología de Johnson. El álgebra de Banach A = L 1 ( G ) es susceptible de ser un álgebra de Banach.

El caso de los grupos discretos

La definición de amenability es más simple en el caso de un grupo discreto [2] , es decir, cuando el grupo está equipado con una topología discreta.

Definición. Un grupo discreto G es susceptible si existe una medida de probabilidad finitamente aditiva invariante por la izquierda μ en G .

Esta definición es equivalente a la definición en términos de L ∞ ( G ) dada anteriormente.

La medida μ en G nos permite definir la integral de funciones acotadas en  G . Para una función acotada f : G → R , la integral

se define como en el caso de la integral de Lebesgue . (Tenga en cuenta que algunas propiedades de la integral de Lebesgue no se cumplen, ya que nuestra medida es solo finitamente aditiva).

Si un grupo admite una medida invariante por la izquierda, también admite una medida biinvariante. De hecho, a partir de una medida invariante a la izquierda μ , se construye una medida invariante a la derecha μ − ( A ) = μ ( A −1 ). Estas dos medidas definen una medida bi-invariante de la siguiente manera:

Las condiciones equivalentes para grupos susceptibles también se simplifican en el caso de un grupo discreto contable Γ . Para tal grupo, las siguientes condiciones son equivalentes: [3]

• Γ es susceptible.
• Hay un μ funcional continuo invariante a la izquierda en l ∞ (Γ) con μ (1) = 1.
• Existe un conjunto de medidas de probabilidad μ n sobre Γ tales que ||g · μ n  — μ n || 1 tiende a 0 para cada g en Γ.
• Hay vectores unitarios x n en l 2 (Γ) tales que ||g x n − x n || 2 tiende a 0 para cada g en Γ.
• Hay subconjuntos finitos S n de Γ tales que | gramo · S norte ∆ S norte | / | S norte | tiende a 0 para cada g en Γ.
• Si μ es una medida de probabilidad simétrica en Γ con un sistema de generadores como soporte, entonces la convolución sobre μ define un operador de norma en 1 en ℓ 2 (Γ).
• Si Γ actúa por isometrías en un espacio de Banach separable E y f en l ∞ (Γ, E *) es un 1-cociclo acotado, es decir, f ( g h ) = f ( g ) + g f ( h ) , entonces f  es un 1-cofrontera, es decir, f ( g ) = g φ − φ para algún φ en E *.

Propiedades

• Un subgrupo cerrado de un grupo susceptible es susceptible.
• El grupo de factores de un grupo susceptible es susceptible.
• Una extensión de un grupo susceptible es susceptible.
  • En particular, un producto directo finito de grupos susceptibles es susceptible. Sin embargo, los productos infinitos no necesitan ser susceptibles.
• Los límites directos de los grupos susceptibles son susceptibles.
  • En particular, si un grupo puede escribirse como la unión de una secuencia creciente de subgrupos susceptibles, entonces es susceptible.

Ejemplos

• Los grupos compactos son susceptibles.
  • En particular, los grupos finitos son susceptibles.
• Todos los grupos solubles son susceptibles. En particular,
  • todos los grupos abelianos son susceptibles.
  • el grupo de enteros es susceptible.

Los ejemplos anteriores se denominan grupos susceptibles elementales. Se construyen a partir de grupos finitos y abelianos utilizando un conjunto estándar de operaciones. La existencia de grupos susceptibles no elementales está garantizada por el siguiente ejemplo.

• Los grupos finitos de crecimiento subexponencial son susceptibles.

Contraejemplos

• Un grupo discreto contable que contiene un subgrupo libre con dos generadores no es susceptible.
  • La declaración inversa es la hipótesis de von Neumann, fue refutada por Olshansky en 1980 con la ayuda de sus monstruos Tarski .
    • Adian demostró posteriormente que los grupos libres de Burnside no son susceptibles.
    • Estos grupos están finitamente generados pero no finitamente representados. En 2002, Sapir y Olshansky encontraron ejemplos de grupos presentados finitamente no susceptibles [4] .
  • Para grupos lineales finitamente generados , la conjetura de von Neumann es cierta por el teorema de Tits [5] : cada subgrupo GL ( n, k ) sobre un campo k tiene un subgrupo soluble normal de índice finito (y por lo tanto, el grupo es susceptible) o contiene un subgrupo libre con dos generadores.

Propiedades relacionadas

• La propiedad (T) de Kazhdan es, informalmente hablando, todo lo contrario de la amabilidad, excepto en el caso de grupos compactos (en el caso discreto, finitos) [6] .
• Los grupos sóficos generalizan tanto grupos susceptibles como residualmente finitos ; informalmente hablando, un grupo sófico es localmente bien aproximado por un grupo finito, cf. con el criterio de Fölner. A partir de 2021, se desconoce si esta clase incluye todos los grupos contables discretos [7] [8] .

Notas

1. ↑ Día MM. Medios sobre semigrupos y grupos // Bull. amer Matemáticas. Soc.. - 1949. - Vol. 55. - Pág. 1054-1055.
2. ↑ Véase Greenleaf 1969, Pier 1984, Takesaki 2002a, Takesaki 2002b.
3. ↑ Muelle 1984
4. ↑ Olshanskii, Alexander Yu.; Sapir, Mark V. Torsión no susceptible de presentación finita por grupos cíclicos // Publ. Matemáticas. Inst. Altos Estudios Sci.. - 2002. - vol. 96.—Pág. 43–169. -doi : 10.1007/ s10240-002-0006-7 .
5. ↑ Tits, J. (1972), "Subgrupos libres en grupos lineales", J. Algebra 20 (2): 250-270, doi : 10.1016/0021-8693(72)90058-0
6. ↑ Bachir Bekka, Pierre de la Harpe y Alain Valette. Propiedad de Kazhdan (T). - Cambridge University Press, 2008. - Pág. 11. - ISBN 978-0-521-88720-5 . — ISBN 978-0-511-39377-8 .
7. ↑ Laurent Bartholdi. Capítulo 11. Capacidad de grupos y conjuntos G // Secuencias, grupos y teoría de números. - Birkhäuser, 2018. - Pág. 543. - ISBN 978-3-319-69151-0 . — ISBN 978-3-319-69152-7 .
8. ↑ Lewis Bowen, Peter Burton. Grupos sóficos localmente compactos. - Pág. 3. - arXiv : 2106.09118 .

Enlaces

• TELEVISOR. Nagnibed. Susceptibilidad de Grupos Generados Finitamente  // Seminario de Todo el Instituto "Coloquio de MIAN". — 2 de noviembre de 2017. (Ruso)
• Brooks, Robert (1981), El grupo fundamental y el espectro del laplaciano , Comentario. Matemáticas. Helv. Tel. 56: 581–598 , DOI 10.1007/bf02566228 
• Dixmier, Jacques (1977), C*-algebras (traducido del francés por Francis Jellett) , vol. 15, Biblioteca Matemática de Holanda Septentrional, Holanda Septentrional 
• Greenleaf, F. P. (1969), Medios invariantes en grupos topológicos y sus aplicaciones , Van Nostrand Reinhold 
• Juschenko, Kate & Monod, Nicolas (2013), Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups , Annals of Mathematics vol .178 (2): 775–787 , DOI 10.4007/annals.2013.178.2.7 
• Leptin, H. (1968), Zur harmonischen Analyse klassenkompakter Gruppen , Invent. Matemáticas. V. 5: 249–254 , DOI 10.1007/bf01389775 
• Pier, Jean-Paul (1984), Grupos localmente compactos susceptibles , Matemática pura y aplicada, Wiley 
• Runde, V. (2002), Lectures on Amenability , vol. 1774, Apuntes de conferencias sobre matemáticas , Springer, ISBN 9783540428527 
• Sunada, Toshikazu (1989), Representaciones unitarias de grupos fundamentales y el espectro de laplacianos retorcidos , Topología Vol . 28: 125–132 , DOI 10.1016/0040-9383(89)90015-3 
• Takesaki, M. (2002a), Teoría de las álgebras de operadores , vol. 2, Springer, ISBN 9783540422488 
• Takesaki, M. (2002b), Teoría de las álgebras de operadores , vol. 3, Springer, ISBN 9783540429142 
• Valette, Alain (1998), Sobre la caracterización de la amenabilidad de Godement , Bull. Austral. Matemáticas. soc. T. 57: 153–158 , DOI 10.1017/s0004972700031506 
• von Neumann, J (1929), Zur allgemeinen Theorie des Maßes , Fund. Matemáticas. T. 13(1): 73–111 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm13/fm1316.pdf >