Conde Desargués
| Conde Desargués | |
|---|---|
| Lleva el nombre de | Gerard Desargué |
| picos | veinte |
| costillas | treinta |
| Radio | 5 |
| Diámetro | 5 |
| Circunferencia | 6 |
| automorfismos | 240 ( S 5 × Z /2 Z ) |
| Número cromático | 2 |
| índice cromático | 3 |
| Género | 2 |
| Propiedades |
distancia cúbica -regular hamiltoniano bipartito simétrico |
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El gráfico de Desargues es un gráfico cúbico transitivo de distancia con 20 vértices y 30 aristas [1] . Nombrado en honor a Gerard Desargues . Ocurre en algunas construcciones combinatorias, tiene un alto grado de simetría, es el único cubo parcial cúbico no plano conocido y se usa en bases de datos químicas.
El nombre "Conde Desargues" también se usa para el gráfico de diez vértices, el complemento del gráfico de Petersen , que se puede obtener como la mitad del gráfico de Desargues con 20 vértices. [2]
Edificio
Hay varias formas diferentes de construir un gráfico de Desargues:
- Es un gráfico de Petersen generalizado G (10, 3). Para obtener el gráfico de Desargues de esta manera, conectamos diez vértices en un decágono regular y conectamos los diez vértices restantes en una estrella con diez vértices, conectando pares de vértices a una distancia de tres. El gráfico de Desargues consta de las 20 aristas de estos dos polígonos, junto con 10 aristas adicionales que conectan los puntos de un decágono con los puntos correspondientes del otro.
- Es la configuración del Conde Levi de Desargues . Esta configuración consta de diez puntos y diez líneas que forman la perspectiva de dos triángulos , su centro de perspectiva y su eje de perspectiva. Un gráfico de Desargues tiene un vértice para cada punto, un vértice para cada línea y una arista para cada par punto-línea si el punto se encuentra en esa línea. El teorema de Desargues , llamado así por el matemático francés del siglo XVII Gérard Desargues , describe el conjunto de puntos y líneas que forman esta configuración. La configuración y el grafo obtuvieron su nombre de este teorema.
- Es una cubierta bipartita doble del gráfico de Petersen y se forma reemplazando cada vértice del gráfico de Petersen con un par de vértices y cada borde del gráfico de Petersen con un par de bordes que se cruzan.
- Es un gráfico de Kneser bipartito H 5,2 . Sus vértices se pueden etiquetar con diez subconjuntos de dos elementos y diez subconjuntos de tres elementos de un conjunto de cinco elementos. En este marcado, una arista conecta vértices si uno de los conjuntos correspondientes está contenido en el otro.
- El gráfico de Desargues es hamiltoniano y se puede construir usando la notación LCF : [5,−5,9,−9] 5 .
Propiedades algebraicas
El gráfico de Desargues es un gráfico simétrico : tiene simetrías que llevan cualquier vértice a cualquier otro vértice y cualquier borde a cualquier otro borde. Su grupo de simetría es de orden 240 y es isomorfo al producto de grupos simétricos de 5 vértices y un grupo de orden 2.
Uno puede pensar en este producto de grupos simétricos en términos de construir un gráfico de Desargues: el grupo simétrico de 5 puntos es el grupo de simetría de la configuración de Desargues, y el subgrupo de segundo orden intercambia los roles de los vértices que representan la configuración de Desargues y los vértices. que representan líneas. Alternativamente, en términos del gráfico de Kneser bipartito, el grupo simétrico de cinco puntos actúa por separado en los subconjuntos de dos y tres elementos de los cinco puntos, y el complemento de los subconjuntos forma un grupo de orden dos que transforma un tipo de subconjunto en otro. El grupo simétrico de cinco puntos es también el grupo de simetría del grafo de Petersen, y el subgrupo de orden 2 intercambia vértices en cada par de vértices formado por la doble cubierta.
Un gráfico de Peterson generalizado G ( n , k ) es transitivo de vértice si y solo si n = 10 y k = 2 o si k 2 ≡ ±1 (mod n ) y es transitivo de borde solo en los siguientes siete casos: ( n , k ) = (4, 1), (5, 2), (8, 3), (10, 2), (10, 3), (12, 5), (24, 5). [3] Por lo tanto, el gráfico de Desargues es uno de los siete gráficos de Petersen generalizados simétricos. Estos siete gráficos incluyen el gráfico de cubo G (4, 1), el gráfico de Petersen G (5, 2), el gráfico de Möbius-Cantor G (8, 3), el gráfico de dodecaedro G (10, 2) y el gráfico de Nauru G (12, 5).
El polinomio característico del gráfico de Desargues es
Por lo tanto, el gráfico de Desargues es un gráfico de enteros : su espectro consiste completamente en números enteros.
Aplicaciones
En química , el conde Desargues es conocido como el conde Desargues-Levy . Se utiliza para construir el sistema de estereoisómeros de pentaligandos . En esta aplicación, los treinta bordes del gráfico corresponden a las pseudo- rotaciones ligando. [4] [5]
Otras propiedades
El gráfico de Desargues tiene un número de intersección de línea de 6 y es el gráfico cúbico más pequeño con ese número de intersecciones (secuencia A110507 en OEIS ). Es el único cubo parcial cúbico no plano conocido . [6]
El gráfico de Desargues tiene el número cromático 2, el índice cromático 3, el radio 5, el diámetro 5 y la circunferencia 6. También es un gráfico hamiltoniano conectado por 3 vértices y 3 aristas .
Todos los gráficos regulares de distancia cúbica son conocidos. [7] Comte Desargues es uno de estos condes.
Galería
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Conde Desargues, coloreado de tal manera que resalta los distintos ciclos.
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El índice cromático del Conde Desargues es 3.
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El número cromático del Conde Desargues es 2.
Notas
- ↑ Weisstein, Eric W. Desargues Gráfico en el sitio web Wolfram MathWorld .
- ↑ EN Kagno. Gráficas de Desargues y Pappus y sus grupos. — Revista americana de matemáticas. - The Johns Hopkins University Press, 1947. - T. 69. - S. 859-863. -doi : 10.2307/ 2371806 . .
- ↑ R. Frucht, J. E. Graver, M. E. Watkins. Los grupos de los gráficos de Petersen generalizados // Actas de la Sociedad Filosófica de Cambridge . - 1971. - T. 70 , núm. 02 . - S. 211-218 . -doi : 10.1017/ S0305004100049811 .
- ↑ Balabán. Gráficos de desplazamientos múltiples 1, 2 en iones de carbonio y sistemas relacionados // Rev. habitación. Chim.. - 1966. - T. 11 . - S. 1205 .
- ↑ Kurt Mislow. Papel de la pseudorotación en la estereoquímica de las reacciones de desplazamiento nucleofílico // Acc. química Res.. - 1970. - T. 3 , núm. 10 _ — S. 321–331 . doi : 10.1021 / ar50034a001 .
- ↑ Sandi Klavzar, Alenka Lipovec. Cubos parciales como grafos de subdivisión y como grafos de Petersen generalizados // Matemáticas discretas . - 2003. - T. 263 . — S. 157–165 . - doi : 10.1016/S0012-365X(02)00575-7 .
- ↑ AE Brouwer, A. M. Cohen, A. Neumaier. Gráficos de distancia-regulares - Nueva York: Springer-Verlag, 1989.