Teorema de desargues

El teorema de Desargues es uno de los teoremas fundamentales de la geometría proyectiva .

Formulaciones

Si dos triángulos están ubicados en el plano de tal manera que las líneas que conectan los vértices correspondientes de los triángulos pasan por un punto, entonces los tres puntos en los que se cortan las extensiones de los tres pares de lados correspondientes de los triángulos están en una recta línea.

Lo contrario también es cierto:

Si dos triángulos están ubicados en un plano de tal manera que los tres puntos en los que se cortan las extensiones de los tres pares de lados correspondientes de los triángulos se encuentran en la misma línea recta, entonces las líneas que conectan los vértices correspondientes de los triángulos pasan por un punto.

Notas

Acerca de la evidencia

Variaciones y generalizaciones

Poncelet basó su elegante teoría de las figuras homológicas en el teorema de Desargues . Llamó homólogos a los dos triángulos a los que se refiere el teorema de Desargues, el punto de intersección de las líneas que conectan sus vértices en pares - el centro de homología, y la línea en la que sus lados se cortan en pares - el eje de homología.

Poncelet dio el siguiente teorema para la geometría en el espacio, como correspondiente al teorema de Desargues en el plano:

Si dos tetraedros tienen vértices que se encuentran en pares en cuatro rectas que convergen en un punto, entonces los planos de caras opuestas se cortan a lo largo de cuatro rectas que están en el mismo plano.

Este teorema se puede generalizar aún más de la siguiente manera:

Cuando los vértices de dos tetraedros se colocan por pares en cuatro líneas que pertenecen al mismo grupo de generadores de un hiperboloide con una cavidad, sus caras se cortan a lo largo de cuatro líneas que pertenecen a los generadores de otro hiperboloide.

Desargues configuración

Los puntos y líneas en el teorema de Desargues forman la llamada configuración de Desargues . Aquí, 3 líneas pasan por cada uno de los 10 puntos y 3 puntos se encuentran en cada una de las 10 líneas. Además, cualquiera de los 10 puntos puede tomarse como la "parte superior de la pirámide triédrica" ​​("punto de Desargues") en la prueba anterior. Cualquier línea recta se puede tomar como una "línea recta de Desargues". Fijar un punto desarguesiano o una línea desarguesiana determina completamente la configuración completa.

El teorema de Desargues y la axiomática de la geometría proyectiva

Al construir la geometría proyectiva del plano sin entrar en el espacio tridimensional, el teorema de Desargues no se deriva de los axiomas básicos del plano proyectivo . Esto significa que es posible construir un plano proyectivo donde falla el teorema de Desargues. Por ejemplo, el plano de Cayley  , un plano proyectivo sobre un álgebra de Cayley , no es desarguesiano (ver también geometría no desarguesiana ).

Al construir un plano descriptivo desarguesiano, la afirmación del teorema de Desargues se agrega al sistema de axiomas del plano descriptivo como un axioma más.

Historia

El teorema de Desargues fue descubierto por el geómetra francés Desargues : junto con otros dos, de los cuales uno es su inverso, se colocó al final de la obra Traité de la perspectiva , compilada por Boss según los principios y el método de Desargues y apareció en 1636. En este ensayo, se notó que esta afirmación es obvia cuando los triángulos están en dos planos diferentes; la consideración del caso cuando se encuentran en el mismo plano proporciona uno de los primeros ejemplos del uso del teorema de Menelao entre los nuevos geómetras. El teorema de Desargues ganó fama a principios del siglo XIX debido a su uso en los trabajos de Brianchon y Poncelet .

Véase también

Notas

  1. ↑ Es decir, el punto en el que se cortan tres rectas que pasan por pares de vértices correspondientes.
  2. ↑ Es decir, la línea en la que se cortan las líneas que contienen los lados correspondientes.

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