Análisis de grupo de ecuaciones diferenciales

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El análisis de grupo de ecuaciones diferenciales es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades de simetría de las ecuaciones diferenciales con respecto a varias transformaciones de variables dependientes e independientes. Incluye métodos y aspectos aplicados de geometría diferencial , la teoría de grupos de Lie y álgebras , cálculo de variaciones y es, a su vez, una eficaz herramienta de investigación en la teoría de ODEs , PDEs y física matemática .

Motivación

Si una ecuación diferencial se transforma en sí misma después de algún cambio de variables (hasta transformaciones idénticas), entonces este cambio transforma cualquier solución de la ecuación de nuevo en una solución, generalmente hablando, que no coincide con la original. Todos estos reemplazos forman un grupo llamado grupo de simetría de la ecuación diferencial, o el grupo admitido por la ecuación diferencial. Así, el conocimiento del grupo de simetría y de algunas soluciones particulares permite construir familias de soluciones obtenidas a partir de las originales aplicando todas las transformaciones del grupo. Además, si alguna solución de la ecuación es invariante con respecto al grupo (o alguno de sus subgrupos ), este hecho impone ciertas condiciones a su forma, lo que permite esperar una simplificación de la ecuación original cuando se restringe a tal soluciones invariantes (en particular, una disminución en el número de variables independientes). Estas consideraciones conducen al problema de los métodos generales para encontrar el grupo admisible de una ecuación diferencial dada. Por otro lado, de acuerdo a un grupo dado de transformaciones, en principio, se puede construir un conjunto de ecuaciones diferenciales que lo permitan como su grupo de simetría, lo cual es especialmente importante para los apartados fundamentales de la física teórica .

Los métodos bien desarrollados de la teoría de grupos y la geometría diferencial hacen posible dar formulaciones rigurosas a las consideraciones anteriores y resolver constructivamente una serie de problemas relacionados, y también amplían significativamente el arsenal de herramientas para estudiar el comportamiento cualitativo de las soluciones de ecuaciones diferenciales, numéricas. integración, etc

Definiciones

Sean y denoten conjuntos de variables independientes y dependientes, respectivamente, de algún sistema de ecuaciones diferenciales de orden ${\displaystyle x=(x^{1},x^{2},...x^{n})\en X=R^{n))$ ${\displaystyle u=(u^{1},u^{2},...,u^{m})\in U=R^{m))$ $s$

F(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {s}{u}})=0,\qquad F=(F^{1},F ^{2},...,F^{m}),

(una)

a es el conjunto de todas las posibles derivadas de orden . El sistema de ecuaciones ( 1 ) define alguna subvariedad en el espacio . ${\underset {k}{u}}\in {\underset {k}{U}}$ $k$ ${\underset {s}{Z}}=X\times U\times {\underset {1}{U}}\times ...\times {\underset {s}{U}}$ $METRO$

Deje que el grupo de Lie actúe en el espacio de variables independientes y dependientes por transformaciones $GRAMO$ ${\underset {0}{Z}}\equiv Z=X\times U$

x'=\phi (x,u,g),\quad u'=\psi (x,u,g),\quad g\in G.

(2)

Al volver a calcular las derivadas de las variables transformadas, las transformaciones ( 2 ) se extienden únicamente a todo el espacio : ${\underset {s}{Z))$

{u'}_{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }\equiv {\frac {\parcial u'^{\alpha }}{\parcial x'^{a_ {1}}...\parcial x'^{a_{k}}}}=\psi _{a_{1}...a_{k}}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {k}{u}},g),\quad k=1,...,s.

Un grupo se denomina grupo de simetría del sistema ( 1 ) si la variedad es una variedad invariante de la th continuación de la acción ( 2 ), es decir, la acción ( 2 ) extendida a derivadas hasta el orden inclusive. La acción de cada subgrupo de un parámetro ( ver mapeo exponencial ) del grupo en el espacio es generada por un campo vectorial (aquí y más abajo, la regla de suma de Einstein está implícita ) $GRAMO$ $METRO$ $s$ $s$ ${\ Displaystyle e^{tA}}$ $A\in {\mathcal {G}}=\mathrm {Mentira} \,G$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización X \ veces U}$

Y_{A}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\parcial }{\parcial x^{a))}+\eta ^{\alpha }(x,u){ \frac {\parcial }{\parcial u^{\alpha }}},\quad \xi ^{a}=\left.{\frac {d\phi ^{a}(x,u,e^{tA })}{dt))\right|_{t=0},\quad \eta ^{\alpha }=\left.{\frac {d\psi ^{\alpha }(x,u,e^{ tA})}{dt}}\right|_{t=0}.

(3)

El generador correspondiente de la acción del subgrupo extendido al espacio , $g(t)$ ${\underset {s}{Z))$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{A))}=\xi ^{a}(x,u){\frac {\parcial }{\parcial x^{a))}+\ eta ^{\alpha }(x,u){\frac {\parcial }{\parcial u^{\alpha ))}+\sum \limits _{|I|=1}^{s}\theta _{ I}^{\alpha }(x,u,{\underset {1}{u}},...,{\underset {|I|}{u}}){\frac {\parcial }{\parcial u_{I}^{\alpha }}},\quad \theta _{I}^{\alpha }=\left.{\frac {d\psi _{I}^{\alpha }(x,u, {\bajo {1}{u}},...,{\bajo {|I|}{u}},e^{tA})}{dt}}\right|_{t=0},

(cuatro)

donde es el multiíndice , se llama la continuación del generador . Por analogía, al agregar formalmente a la serie ( 4 ) un número ilimitado de términos con derivadas de orden superior, se introduce el concepto de continuación infinita . En este caso, no se plantea la cuestión de la convergencia de esta serie, ya que en la práctica siempre hay que tratar con funciones que dependen de derivadas de orden finito. $yo$ $s$ $Y_{A}$ ${\displaystyle {\underset {\infty \ \ \ }{Y_{A))))$

Principales disposiciones y resultados

Coeficientes de generadores continuos

La forma explícita de los coeficientes del generador continuo se encuentra diferenciando las restricciones

{\displaystyle d{u'}^{\alpha }={u'}_{a}^{\alpha }d{x'}^{a},\quad d{u'}_{a}^{ \alpha }={u'}_{ab}^{\alpha }d{x'}^{b))

etc., superpuestas a las coordenadas en el espacio , según el parámetro de transformación en . Por ejemplo, para encontrar los coeficientes en , considere las relaciones ${\underset {s}{Z))$ $t$ $t = 0$ ${\displaystyle \parcial /\parcial u_{a}^{\alpha ))$

d{u'}^{\alpha }=\left({\frac {\parcial {u'}^{\alpha }}{\parcial x^{a}}}+{\frac {\parcial {u'}^{\alpha }}{\u parcial^{\beta }}}u_{a}^{\beta }\right)dx^{a}={u'}_{a}^{\ alfa }d{x'}^{a}={u'}_{b}^{\alfa }\left({\frac {\parcial {x'}^{b)){\parcial x^{a ))}+{\frac {\parcial {x'}^{b}}{\parcial u^{\beta }}}u_{a}^{\beta }\right)dx^{a}.

Igualando los coeficientes de at y derivándolos respecto de at , teniendo en cuenta las expresiones ( 3 - 4 ) tenemos ${\displaystyle dx^{a))$ $t$ $t = 0$

{\frac {\parcial \eta ^{\alpha }}{\parcial x^{a}}}+{\frac {\parcial \eta ^{\alpha }}{\parcial u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }=\theta _{a}^{\alpha }+u_{b}^{\alpha }\left({\frac {\parcial \xi ^{b)) {\parcial x^{a))}+{\frac {\parcial \xi ^{b)){\parcial u^{\beta ))}u_{a}^{\beta }\right),

dónde

\theta _{a}^{\alpha }=D_{a}\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b},

donde la notación

D_{a}={\frac {\parcial }{\parcial x^{a))}+u_{a}^{\beta }{\frac {\parcial }{\parcial u^{\beta ))}+u_{ab}^{\beta }{\frac {\parcial }{\parcial u_{b}^{\beta }}}+...

para el operador de derivada total con respecto a la coordenada . De manera similar, se pueden encontrar expresiones generales recurrentes y explícitas para coeficientes de orden arbitrario: $x^{un}$

\theta _{aI}^{\alpha }=D_{a}\theta _{I}^{\alpha }-u_{bI}^{\alpha }D_{a}\xi ^{b} ,\quad \theta _{I}^{\alpha }=D_{I}\left(\eta ^{\alpha }-u_{b}^{\alpha }\xi ^{b}\right)+\ xi ^{b}u_{bI}^{\alfa}.

El criterio infinitesimal para la invariancia del sistema ( 1 ) es la condición

\left.{\underset {s\ \ \ }{Y_{A))}F\right|_{F=0}=0,

que debe cumplirse para cualquier elemento de una vecindad de cero en el álgebra de Lie . Dado que esta condición contiene no sólo variables y , de las que dependen los coeficientes del generador , sino también derivadas, en general, hasta el orden inclusive, que en este caso aparecen como variables independientes, para cualesquiera valores de los que la condición debe satisfecho, entonces se descompone en un sistema, como regla, ecuaciones diferenciales lineales redefinidas para los coeficientes , . Habiendo resuelto este sistema, se puede, en principio, restaurar la acción (local) del grupo en el espacio , y luego también en . $A$ ${\ estilo de visualización {\ cal {G}}}$ $X$ $tu$ $Y$ $s$ ${\ estilo de visualización \ xi ^ {a}}$ ${\ estilo de visualización \ eta ^ {\ alfa}}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización X \ veces U}$ ${\underset {s}{Z))$

Invariantes diferenciales

La invariante diferencial del orden $s$ de un grupo es una función diferenciable en , dependiendo de las derivadas de orden , e invariante bajo la continuación de la acción de este grupo. Los invariantes de orden diferencial satisfacen el sistema de ecuaciones lineales de primer orden $GRAMO$ ${\underset {s}{Z))$ $k$ $s$ $s$

{\underset {s\ \ \ }{Y_{i))}J=0,\qquad i=1,...,\dim G,

donde está la base de los generadores del grupo en . De la teoría general de tales sistemas se deduce que una invariante arbitraria puede expresarse en términos de un cierto conjunto mínimo de invariantes funcionalmente independientes, donde es el número de variables independientes y es el número de ecuaciones independientes en el sistema, que es igual a el rango máximo de su matriz de coeficientes. $Y_{yo}$ $GRAMO$ $Z$ ${\ número de estilo de visualización}$ ${\displaystyle N=n+m\,C_{s}^{n+s))$ $r$

Una parte importante de las aplicaciones del análisis de grupos se basan en el siguiente teorema.

Así, el conocimiento de las invariantes diferenciales permite encontrar la forma general de las ecuaciones que son invariantes respecto de un grupo dado, y el análisis de la estructura del álgebra de Lie del grupo de simetría permite elegir un cambio de variables que reduzca la ecuación dada a la forma más simple posible, por ejemplo, permitiendo la reducción del orden (ver la sección " Apéndices ").

Diferenciación invariante

Un operador de diferenciación de invariantes de un grupo es un operador diferencial que, cuando actúa sobre un invariante diferencial de este grupo, da un invariante diferencial de orden superior. De la definición se sigue que un operador es un operador de diferenciación invariante de un grupo si y solo si conmuta con cualquier generador de la acción continua de este grupo: $GRAMO$ $\delta$ $GRAMO$ ${\underset {\infty}{Y}}$

\left[\delta ,\,{\underset {\infty}{Y}}\right]=0.

(5)

Para cualquier grupo de transformaciones espaciales, existen operadores de diferenciación de invariantes de primer orden que son linealmente independientes sobre el campo de invariantes del grupo dado. Estos invariantes tienen la forma y, teniendo en cuenta ( 5 ), satisfacen el sistema de ecuaciones $GRAMO$ ${\ estilo de visualización Z = X \ veces U}$ ${\ estilo de visualización n = \ dim X}$ $\delta =\lambda ^{a}D_{a}$

{\underset {\kappa \ \ }{Y_{i))}\lambda ^{a}=\lambda ^{b}D_{b}\xi _{i}^{a},\qquad i =1,...,\dim G.

El número es el menor orden de continuación del grupo cuyo rango es máximo, es decir, igual a . El campo de invariantes diferenciales tiene un conjunto finito de generadores en el sentido de que un invariante diferencial arbitrario puede obtenerse mediante un número finito de acciones, incluidas operaciones funcionales y la aplicación de operadores de diferenciación de invariantes de primer orden, a partir de una base de invariantes diferenciales de orden . $\kappa$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ dim G}$ ${\ estilo de visualización \ kappa +1}$

Aplicaciones

Ecuaciones diferenciales ordinarias

Para (sistemas de) ecuaciones diferenciales ordinarias, el análisis de grupos establece condiciones suficientes para la integrabilidad en cuadraturas y, si se cumplen, proporciona un algoritmo para construir una solución general. Si no se cumplen estas condiciones, el conocimiento del grupo de simetría permite bajar el orden de una ecuación o sistema, es decir, expresar sus soluciones en términos de soluciones a una ecuación o sistema de orden inferior con un número menor de ecuaciones. .

A continuación se presentan los principales resultados del grupo de análisis en relación a la ODE.

Degradación

Si una ecuación diferencial ordinaria

F(x,u',...,u^{(s)})=0

admite un grupo de simetría de un parámetro con generador

Y=\xi (x,u){\frac {\parcial}{\parcial x))+\eta (x,u){\frac {\parcial}{\parcial u)),

(6)

luego pasando a variables que enderezan el campo vectorial ( 6 ), se puede reducir su orden en uno. En particular, la ecuación de primer orden, resuelta con respecto a la derivada, se integra en cuadraturas bajo esta condición.

La última declaración se puede formular alternativamente en términos de un factor de integración.

Factor integrante

Ecuación diferencial ordinaria en diferenciales totales

P(x,u)\,dx+Q(x,u)\,du=0

admite un grupo de simetría de un parámetro con generador ( 6 ) si y solo si la función

\mu ={\frac {1}{P\,\xi +Q\,\eta }}

es un factor integrante para esta ecuación .

Teorema de Lie

Los resultados anteriores se generalizan mediante el siguiente teorema.

En vista de la correspondencia entre ecuaciones de orden y sistemas de ecuaciones de primer orden, un teorema similar también es válido para ecuaciones de un orden . $s$ $s$ $s$

Ecuaciones diferenciales parciales

Literatura

L. V. Ovsyannikov. Grupo análisis de ecuaciones diferenciales. - M. : Ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1978. - 400 p.
P. Olver. Aplicaciones de los grupos de Lie a las ecuaciones diferenciales. Por. del inglés.- M . : Mir, 1989.- 639 p. — ISBN 5-03-001178-1 .
N. Kh. Ibragimov. Grupos de transformaciones en física matemática. - M. : Ciencia. cap. edición Phys.-Math. lit., 1983. - 280 p.