Dualidad (teoría de categorías)

La dualidad en la teoría de categorías es la relación entre las propiedades de la categoría C y las llamadas propiedades duales de la categoría dual C op . Tomando el enunciado sobre la categoría C e intercambiando la imagen y la preimagen de cada morfismo, así como el orden en que se aplican los morfismos, obtenemos el enunciado dual sobre la categoría C op . El principio de dualidad es que las declaraciones verdaderas después de tal operación se vuelven verdaderas y las declaraciones falsas se vuelven falsas.

Formal definición

El lenguaje de la teoría de categorías se define como un lenguaje de primer orden con dos clases de símbolos, objetos y morfismos, con la propiedad de un objeto de ser imagen o prototipo de un morfismo, y un símbolo para la composición de morfismos.

Sea σ cualquier palabra del idioma. Su palabra dual σ op está formada por las siguientes reglas:

intercambiar todas las "imágenes" con "imágenes previas" en σ ,
invertir el orden de composición de los morfismos, es decir, reemplazar todas las ocurrencias con . $g\circf$ $f \circ g$

En otras palabras, debe invertir todas las flechas y reorganizar los argumentos de todas las composiciones .

La dualidad es la observación de que σ se cumple en alguna categoría C si y sólo si σ op se cumple en C op .

Ejemplos

Un morfismo es un monomorfismo cuando se sigue de . Aplicando la operación de dualidad, obtenemos la afirmación que se sigue de . Para un morfismo , esto significa exactamente que f es un epimorfismo de . Así, la propiedad "ser un monomorfismo" es dual a la propiedad "ser un epimorfismo". $f\dos puntos A\a B$ $f\circ g=f\circ h$ ${\ estilo de visualización g = h}$ $g\circ f=h\circ f$ ${\ estilo de visualización g = h}$ $f\dos puntos B\a A$
Límite y colímite son conceptos duales.
El objeto inicial y el objeto terminal son conceptos duales.

Literatura

I. M. Vinogradov. Categoría dual // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)
I. M. Vinogradov. Principio de dualidad // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)
I. M. Vinogradov. S-dualidad // Enciclopedia matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)
McLane S. Capítulo 2. Construcciones en categorías // Categorías para el matemático en activo = Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 43-67. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .