Integral diferencial de Grunwald-Letnikov

En matemáticas , la integral diferencial de Grunwald-Letnikov es una de las principales generalizaciones de la derivada en el cálculo fraccionario , que permite tomar derivadas un número no entero de veces. Fue introducido por Anton Karl Grunwald en 1867 y A. V. Letnikov en 1868.

Construcción de la integral diferencial de Grunwald-Letnikov

Fórmula para la derivada

f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h))

se puede aplicar recursivamente para obtener derivadas de orden superior. Por ejemplo, para la derivada de segundo orden obtenemos:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}=

=\lim _{h_{1}\a 0}{\frac {\lim \limits _{h_{2}\a 0}{\dfrac {f(x+h_{1}+h_{2 })-f(x+h_{1})}{h_{2}}}-\lim \limits _{h_{2}\to 0}{\dfrac {f(x+h_{2})-f (x)}{h_{2}}}}{h_{1}}}.

Asumiendo que todos los incrementos tienden a cero de la misma manera, esta expresión se puede simplificar: $h$

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+2h)-2f(x+h)+f(x)}{h^{2))} ,

lo cual se puede justificar rigurosamente mediante la fórmula del incremento finito . En general, tenemos (ver coeficientes binomiales ):

d^{n}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{n))}\sum _{m=0}^{n}(- 1)^{m}{n\elegir m}f(x+(nm)h).

Formalmente, quitando la restricción de que es un número positivo, es natural definir: $norte$

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h^{q}}}\sum _{0\leqslant m<\ infinito }(-1)^{m}{q \elegir m}f(x+(qm)h).

Esta es la definición de la integral diferencial de Grunwald-Letnikov.

Otra entrada

La definición también se puede reescribir más simplemente introduciendo la notación:

\Delta _{h}^{q}f(x)=\sum_{0\leqslant m<\infty}(-1)^{m}{q \elegir m}f(x+(qm) h).

Entonces la definición toma la forma:

\mathbb {D} ^{q}f(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\Delta _{h}^{q}f(x)}{h^{q }}}.

Enlaces

Oldham, K. y Spanier, J. The Fractional Calculus - Editorial: Academic Press, 1974. - 234 p. — ISBN 0-12-52555-0-0 .