Modelo de difusión de la evolución de los tipos de interés

El modelo de difusión de la evolución de las tasas de interés en matemáticas financieras es un modelo matemático para describir la dinámica de las tasas de interés en forma de una ecuación de difusión diferencial estocástica. La familia de modelos de tasas de interés es muy diversa, e incluye modelos de factor único (modelos de tasa al contado) y multifactoriales, así como modelos de curvas a futuro.

El modelo de un factor de la tasa de corto plazo se representa como:

${\displaystyle dr=a(t,r(t))dt+b(t,r(t))dW_{t))$

donde esta el proceso de Wiener $W_{t}$

En base a los modelos de evolución de tipos spot se obtienen modelos de la curva de tipos y su evolución. En el caso de los modelos de un factor, la evolución de la curva de rendimiento está limitada únicamente por un desplazamiento paralelo, hacia arriba o hacia abajo. Los modelos de dos factores que describen tasas cortas y largas permiten modelar el cambio en la pendiente de la curva. Un aumento adicional en el número de factores aumenta el número de grados de libertad de la curva de rendimiento, por ejemplo, un modelo de tres factores le permite describir una curva de rendimiento cóncava o "jorobada".

El número de factores que se pueden incluir en el modelo no está limitado, pero por razones prácticas, generalmente no se usan más de diez factores.

Los modelos de curva de rendimiento a plazo generalizan los modelos multifactoriales porque describen la evolución de toda la curva de rendimiento dentro de una sola ecuación. Los forwards incluyen HJM y Libor Market Model.

Modelos básicos

Modelo de Merton

Este es el modelo más simple propuesto por Merton en 1973, en el que a y b son constantes:

${\displaystyle dr=\alfa dt+\sigma dW_{t))$

El modelo de Vasicek

El modelo fue propuesto por Vasicek en 1977. En el marco de este modelo, se supone que el tipo de interés fluctúa en torno a un determinado nivel medio:

${\displaystyle dr=\alpha (\beta -r_{t})dt+\sigma dW_{t))$

La tasa de interés promedio aquí es . $\beta$

En el modelo de Vasicek, la volatilidad de la tasa no depende del valor de la tasa actual. Además, el modelo de Vasicek teóricamente permite tasas negativas [1] .

El modelo Dotan (Randleman-Barter)

En este modelo, a y b son proporcionales al valor de la tasa de interés, es decir, se utiliza el movimiento browniano geométrico, lo que significa que se excluyen las tasas de interés negativas:

${\displaystyle dr=\alfa r_{t}dt+\sigma r_{t}dW_{t))$

El modelo de Cox-Ingersol-Ross

Este modelo es un desarrollo del modelo Vasicek en la dirección de tener en cuenta la dependencia de la volatilidad de la tasa. En este caso, la volatilidad es proporcional a la raíz cuadrada de la apuesta:

${\displaystyle dr=\alpha (\beta -r_{t})dt+\sigma {\sqrt {r_{t))}dW_{t))$

Modelo Ho-Lee

${\displaystyle dr=\alpha _{t}dt+\sigma dW_{t))$

El modelo Black-Derman-Toy

$d\ln(r)=[\theta_{t}+{\frac {\sigma '_{t)){\sigma_{t))}\ln(r)]dt+\sigma_{ t}\,dW_{t}$

Modelo Hull-White

Si en el modelo de Cox-Ingersol-Ross los parámetros se consideran no como constantes, sino como funciones del tiempo, entonces obtenemos el modelo de Hull-White propuesto en 1990:

${\displaystyle dr=\alpha _{t}(\beta _{t}-r_{t})dt+\sigma _{t}{\sqrt {r_{t))}dW_{t))$

El modelo Black-Karasinsky

Modelo propuesto en 1991

${\displaystyle dr=r_{t}(\alpha _{t}-\beta _{t}\ln r_{t})dt+\sigma _{t}r_{t}dW_{t))$

El modelo Zandman-Sonderman

Modelo propuesto en 1993:

$di=i_{t}(\alpha _{t}dt+\sigma _{t}dW_{t})~,~~r=\ln(1+i)$

Modelo de Chen

En este modelo, propuesto en 1995, se supone que los coeficientes del modelo básico de difusión son también procesos aleatorios de tipo difusión:

${\displaystyle dr_{t}=(\alpha _{t}-r_{t})dt+{\sqrt {\sigma_{t}r_{t))}dW_{t}^{r))$

${\displaystyle d\alpha _{t}=(\alpha -\alpha _{t})dt+{\sqrt {\alpha _{t))}dW_{t}^{\alpha ))$

${\displaystyle d\sigma_{t}=(\sigma -\sigma_{t})dt+{\sqrt {\sigma_{t))}dW_{t}^{\sigma ))$

donde son procesos de Wiener independientes. Por lo tanto, el modelo es de tres factores. $W_{t}^{r},W_{t}^{\alpha },W_{t}^{\sigma }$

Modelo de Schmidt

El modelo fue propuesto en 1997 y es una generalización de muchos otros modelos y se presenta de forma "explícita":

$r_{t}=F(f_{t}+g_{t}W_{T_{t)))$

${\displaystyle T_{t}~,F(x)~,f_{t}~,g_{t))$ son funciones continuas, con la excepción de que no son negativas. $pie$

Notas

↑ Shreve SE Cálculo estocástico para finanzas II: Modelos de tiempo continuo: [ ing. ] . - Springer, 2004. - 4.4 Fórmula Itô-Doeblin. - Pág. 151. - 550 pág. — ISBN 0-387-40101-6 .