Desafío de jeep

El problema del jeep ( ing. Jeep problem, desert crossing problem, explorer problem ) es un problema matemático cuyo objetivo es maximizar la distancia que puede recorrer un automóvil con el tanque lleno de combustible en ausencia de infraestructura, por ejemplo, en el desierto.

Planteamiento del problema

La capacidad total de los botes y el tanque de gasolina del jeep es de 100 litros, el consumo de combustible es un número constante, por ejemplo, se gasta 1 litro en 1 sección. La cantidad de combustible en la base no está limitada. Puedes realizar dos acciones más: drenar parte del combustible en cualquier parte del desierto (en cualquier punto del desierto puede haber un barril de combustible en el que puedes dejar una parte ilimitada del combustible por un tiempo ilimitado), y también tomar algo del combustible del barril, que ya contenía una cierta cantidad de combustible. Este problema tiene dos variedades: el problema de exploración del desierto y el problema de cruce del desierto. En el primer caso, el objetivo es volver a la base (en la posición inicial), en el segundo, solo necesita superar una sección más grande de lo que permite el suministro de combustible.

Solución

Como se señaló anteriormente, el problema del jeep tiene dos variedades: el problema de exploración y el problema de cruzar el desierto. Consideremos cada uno de ellos.

Objetivo de la investigación

Una estrategia que ayuda a aumentar la distancia que puede recorrer un jeep en el problema de exploración del desierto es:

Jeep hace viajes, al comienzo de cada viaje tiene un suministro completo de combustible. Un tanque lleno se indica como 100% o 1, la distancia correspondiente es 1. $norte$
En el primer viaje, el jeep recorre una distancia y deja allí parte del combustible, luego de lo cual el suministro de combustible se igualará , lo cual es suficiente para regresar a la base. ${\ fracción {1}{2n}}$ ${\ fracción {n-1}{n}}$ ${\ fracción {1}{2n}}$
En cada viaje siguiente, el jeep, al llegar a la primera parada, consumirá parte del combustible y lo tomará del barril, por lo que, al llegar a la primera parada, el jeep tiene un suministro completo de combustible, como resultado de lo cual puede continuar el estudio. En el camino de regreso, el jeep vuelve a levantarse del barril, lo que es suficiente para regresar a la base. ${\ fracción {1}{2n}}$ ${\ fracción {1}{2n}}$ ${\ fracción {1}{2n}}$
Durante el segundo viaje, el jeep va a la primera parada y reposta, luego de lo cual recorre una distancia 1/(2 n − 2) y deja (n-2)/(n-1) combustible en la segunda parada, luego de lo cual el suministro de combustible es , después de lo cual es suficiente para regresar al primer estacionamiento, repostar y regresar a la base. ${\frac{1}{2n-2))$
En cada viaje siguiente, el jeep reposta en la ruta directa y la misma cantidad en la vuelta, por analogía con la primera parada. ${\frac{1}{2n-2))$
El jeep continúa su exploración, en cada viaje k -ésimo crea una nueva parada con un barril de combustible a una distancia de la parada anterior y deja allí la cantidad de combustible. Para cada viaje con n - k viajes, el jeep se reabastece con la cantidad de combustible del k -ésimo barril en el camino directo y la misma cantidad en el viaje de regreso, que es suficiente para llegar al estacionamiento k - 1 y volver a la base. ${\ fracción {1}{2n-2k+2}}$ ${\frac{nk}{n-k+1}}$ ${\ fracción {1}{2n-2k+2}}$

Cuando el jeep conduce por última vez, hay n − 1 barriles de combustible. El último barril tiene 1/2 de la cantidad de combustible, el penúltimo tiene 1/3, y así sucesivamente hasta que el primer barril tiene 1/ n de la cantidad de combustible. Teniendo en cuenta que a la salida de la base el jeep tiene una reserva completa de combustible, en total puede cubrir la distancia

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum_{{k=1}}^{ n}{\frac{1}{k}}

Problema de intersección

La distancia recorrida por el jeep en el último viaje es el número armónico n - H n . Dado que el número armónico puede crecer indefinidamente, la longitud del camino que puede recorrer el jeep también puede ser infinita, siempre que haya suficiente combustible en la base, pero la cantidad de barriles para repostar crecerá exponencialmente.

La solución al problema de cruzar el desierto es similar a la solución al problema de exploración del desierto, excepto que en el último viaje no hay necesidad de repostar en el camino de regreso. En el k - ésimo viaje, el jeep sale del k -ésimo barril a una distancia 1/(2 n − 2 k + 1) de la parada anterior y sale (2 n − 2 k − 1)/(2 n − 2 k + 1) combustible. Para cada uno de los siguientes n − k − 1 viajes, el jeep reposta con 1/(2 n − 2 k + 1) cantidad de combustible en la k -ésima parada en los viajes de ida y vuelta.

Cuando el jeep conduce por última vez, hay n − 1 barriles de combustible. El último tiene 1/3 del combustible, el penúltimo tiene 1/5, y así sucesivamente, el más cercano tiene 1/(2 n − 1) de la cantidad de combustible. En este caso, el jeep puede pasar

1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+\cdots +{\frac {1}{2n-1}}=\sum_{{k=1}} ^{n}{\frac {1}{2k-1}}=H_{{2n-1}}-{\frac {1}{2}}H_{{n-1}}

Tenga en cuenta que

\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {1}{2k-1}}>\sum _{{k=1}}^{n}{\frac {1}{2k} }={\frac{1}{2}}H_{{n}}

es decir, es teóricamente posible superar un desierto de cualquier tamaño, con suficiente combustible en la base. Al igual que en el problema anterior, la cantidad de combustible requerida para este crece exponencialmente.

Desafío de jeep

Planteamiento del problema

Solución

Objetivo de la investigación

Problema de intersección

Véase también