Número armónico

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En matemáticas , el n-ésimo número armónico es la suma de los recíprocos de los primeros n números consecutivos de la serie natural :

H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))=1+{\frac {1}{2))+{\frac {1} {3}}+\cdots +{\frac{1}{n}}.

Los números armónicos son sumas parciales de la serie armónica .

El estudio de los números armónicos comenzó en la antigüedad. Son importantes en varios campos de la teoría de números y la teoría de algoritmos y, en particular, están estrechamente relacionados con la función zeta de Riemann .

Definiciones alternativas

Los números armónicos se pueden definir recursivamente de la siguiente manera: ${\begin{casos}H_{n}=H_{n-1}+{\frac {1}{n}}\\H_{1}=1\end{casos}}$

La proporción también es correcta: $H_{n}=\gamma +\psi (n+1)={\frac {\Gamma '(n)}{\Gamma (n)))+{\frac {1}{n))+ \gamma$ , donde es la función digamma , es la constante de Euler-Mascheroni . ${\ estilo de visualización \ psi (n)}$ ${\ estilo de visualización \ gamma = - \ psi (1)}$
Más proporciones: $H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}$ $H_{n}={n}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n-1}{k-1)){\frac {(-1)^{k+1 }}{k^{2}}}={(-1)^{n-1}}{n}\Delta^{n-1}{1}^{-2},$ donde en el punto es la diferencia finita superior del n-ésimo orden de la función . ${\displaystyle\Delta^{n}{1}^{-2}=\Delta^{n}{x}^{-2}}$ ${\ estilo de visualización {x} = 1}$ ${\displaystyle f(x)={\frac{1}{{x}^{2))))$

Representaciones adicionales

Las siguientes fórmulas se pueden utilizar para calcular números armónicos (incluso en puntos distintos de los puntos de la serie natural):

representaciones integrales: $H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}dt,\quad Re(x)>-1$

limitar las representaciones: $H_{x}=\lim _{n\to \infty }\left(\ln(n)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{x+k+ 1 }}\right)+\gamma$ $H_{x}=x\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+1)(x+k+1)))$ ;

Expansión en una serie de Taylor en un punto : $x=0$ $H_{x}=\sum _{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}\zeta (k+1)x^{k}=\zeta (2)x -\zeta (3)x^{2}+\zeta (4)x^{3}-\zeta (5)x^{4}+\cdots,$ donde está la función zeta de Riemann ; $\zeta (x)$

Expansión asintótica : $H_{x}=\gamma +\ln(x)+{\frac {1}{2x}}-{\frac {1}{12x^{2}}}+{\frac {1}{ 120x^{4}}}-{\frac {1}{252x^{6}}}+{\frac {1}{240x^{8}}}-{\frac {1}{132x^{10} }}+\cpuntos$ .

Función generadora

$\sum_{k=1}^{\infty}H_{k}z^{k}=-{\frac {\ln(1-z)}{1-z))$

Propiedades

Valores de un argumento no entero

$H_{1/2}=2-2\ln 2$

$H_{1/3}=3-{\frac {3\ln 3}{2}}-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$

$H_{1/4}=4-3\ln 2-{\frac {\pi }{2))$

$H_{1/5}=5-{\frac {5\ln 5}{4}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1+{\frac {2}{\ sqrt {5}}}}\pi -{\frac {\sqrt {5}}{2}}\ln \varphi ,$

donde está la proporción áurea .

\varphi

$H_{1/7}=7-\ln 14-{\frac {\pi }{2))\mathrm {ctg} {\frac {\pi }{7))-2\cos \left( {\frac {\pi }{7}}\right)\ln \left(\cos {\frac {\pi }{14}}\right)+2\sin \left({\frac {3\pi } {14}}\right)\ln \left(\sin {\frac {\pi }{7}}\right)-2\sin \left({\frac {\pi }{14}}\right)\ ln \left(\cos {\frac {3\pi }{14}}\right)$

Sumas relacionadas con números armónicos

$\sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1){H_{n}}-n=(n+1)({H_{n+1}} -una)$
$\sum_{k=1}^{\infty} {\frac {H_{k}}{k}}=\infty$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{2}}}=2\zeta (3)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{3}}}={\frac {1}{2}}\zeta (2)^ {2}={\frac {5}{4}}\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{72}}$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {H_{k}}{k^{4}}}=3\zeta (5)-\zeta (2)\zeta (3 )=3\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\zeta (3)$

Identidades relacionadas con números armónicos

$(H_{n})^{3}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n} {\frac{1}{ijk))$
$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n-1}\sum _{k=j+1}^{1}{\frac {1}{ ijk))={\frac {1}{2}}H_{n}(H_{n}^{2}-\zeta _{n}(2))$ , dónde ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))$
$\zeta _{n}(2)=(H_{n})^{2}-\sum_{k=1}^{n-1}{\frac {2H_{k}}{k+ 1 }}-1$ , dónde ${\displaystyle \zeta _{n}(2)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{2))))$
$H_{n^{2}}+1=(H_{n})^{2}+\sum_{k=1}^{n-1}\left(H_{(k+1)^ {2}-1}-{\frac{2H_{k}}{k+1}}-H_{k^{2}}\right)$

Cálculo aproximado

Usando la fórmula de suma de Euler-Maclaurin, obtenemos la siguiente fórmula:

H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}+\sum \limits _{k=1}^{m}{\frac {B_{2k}}{2kn ^{2k))}-\theta _{m,n}{\frac {B_{2m+2}}{(2m+2)n^{2m+2}}},

donde , es la constante de Euler , que se puede calcular más rápido a partir de otras consideraciones $0<\theta _{m,n}<1$ $\gama$ [ ¿Qué? ] , y son los números de Bernoulli . $B_{k}$

Propiedades de la teoría de los números

El teorema de Wolstenholm establece que para cualquier número primo , la comparación se cumple: $pag>3$ $H_{p-1}\equiv 0{\pmod {p^{2))}.$

Algunos significados de los números armónicos

{\begin{matriz}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{ 3}&=&{\frac {11}{6}}&\aproximadamente &1{,}833\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\aproximadamente &2{, }083\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\end{matriz}}

{\begin{matriz}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363} {140}}&\aproximadamente &2{,}593\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\aproximadamente &2{,}718\\\\H_{10^{ 3}}&\aproximadamente &7{,}485\\\\H_{10^{6}}&\aproximadamente &14{,}393\end{matriz}}

El numerador y el denominador de la fracción irreducible , que es el n-ésimo número armónico, son los n- ésimos miembros de las secuencias enteras A001008 y A002805 , respectivamente.

Aplicaciones

En 2002, Lagarias demostró [1] que la hipótesis de Riemann sobre los ceros de la función zeta de Riemann equivale a decir que la desigualdad

\sigma(n)\leq H_{n}+\ln(H_{n})e^{{H_{n}}}

es cierto para todos los enteros con desigualdad estricta para , donde es la suma de los divisores de . $n\geq 1$ $n>1$ ${\ estilo de visualización \ sigma (n)}$ $norte$

Véase también

teorema de Wolstenholme

Notas

↑ Jeffrey Lagarias. Un problema elemental equivalente a la hipótesis de Riemann // Amer. Matemáticas. Mensual. - 2002. - Nº 109 . - S. 534-543 .