Problema sobre granos en un tablero de ajedrez

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El problema de los granos en un tablero de ajedrez es un problema matemático en el que se calcula cuántos granos habrá en un tablero de ajedrez si pones el doble de granos en cada celda siguiente del tablero que en la anterior, comenzando desde uno.

Como regla general, el problema se resuelve para un tablero estándar de 64 celdas; cuando se duplica el número de granos en cada celda subsiguiente, la suma de granos en las 64 celdas se determina mediante la expresión:

T_{64}=1+2+4+\cdots +2^{63}=\sum_{i=0}^{63}2^{i}=2^{64}-1

que es 18.446.744.073.709.551.615 .

El problema y sus variaciones se utilizan para demostrar la alta tasa de crecimiento de las secuencias exponenciales .

Orígenes del problema

Aunque los detalles de la descripción de la tarea difieren en diferentes fuentes, la esencia sigue siendo la misma. Según una de las leyendas, el ajedrez fue inventado por un sabio llamado Sissa , quien le mostró su invento al gobernante del país. A Tom le gustó tanto el juego que le dio al inventor el derecho de elegir él mismo la recompensa. El sabio le pidió al rey la primera celda del tablero de ajedrez para pagarle un grano de trigo , por la segunda dos, por la tercera cuatro, y así sucesivamente, duplicando el número de granos en cada celda siguiente. El gobernante, que no entendía de matemáticas, accedió rápidamente, incluso algo ofendido por tan baja estimación del invento, y ordenó al tesorero que calculara y le diera al inventor la cantidad correcta de grano. Sin embargo, cuando una semana después el tesorero aún no podía calcular cuántos granos se necesitaban, el gobernante preguntó cuál era el motivo de tal retraso. El tesorero le mostró los cálculos y le dijo que era imposible pagar, excepto drenar los mares y océanos y sembrar todo el espacio con trigo.

La cantidad de grano es unas 1.800 veces la cosecha mundial de trigo por año (en el año agrícola 2008/09, la cosecha fue de 686 millones de toneladas [1] ), es decir, supera la cosecha total de trigo cosechada en toda la historia de la humanidad. . El número de granos es aproximadamente el 0,0031% del número de Avogadro . En unidades de masa: si asumimos que un grano de trigo tiene una masa de 0,065 gramos (grano Troy : 1 gr \u003d 0,06479891 granos ) , entonces la masa total de trigo en el tablero de ajedrez será de 1200 mil millones de toneladas o 1,2 billones de toneladas:

{\frac {18446744073709551615\times 0{,}065~{\mathrm {g} }}{(1000000~{\mathrm {g} }/{\mathrm {t} })))\aprox. 1{ ,}2\cdot 10^{12}~{\mathrm {t} }

Opciones

Existe un problema similar en el que el rey le pide al comandante que recolecte todos los días una moneda el doble de grande que la anterior. Yakov Perelman en el libro "Live Mathematics" [2] da la siguiente versión del problema, cuya trama, según él, está tomada del "antiguo manuscrito latino": cuando el valiente comandante regresó a Roma de las batallas, el emperador preguntó qué pago quiere por su servicio. El comandante pidió una suma altísima. El emperador, para no ser considerado un avaro o una persona que no cumple su palabra, sugirió que el comandante fuera a la tesorería al día siguiente y tomara una moneda de cobre con una denominación de una braza (que pesaba cinco gramos), una día después: dos brazadas, luego cuatro, etc. hasta que él mismo pueda llevarse las monedas recibidas (todos los días se lanzan monedas del peso requerido). El comandante, decidiendo que fácilmente podría hacerse rico, estuvo de acuerdo. Sin embargo, el día 18, ya no pudo llevarse la moneda y, como resultado, recibió solo una pequeña parte de la recompensa que pidió al emperador.

Según otra versión, dos comerciantes llegaron a un acuerdo de que durante un mes el primero le daría al segundo 10.000 dólares diarios . El segundo debe devolver un centavo al primero el primer día , dos centavos al segundo, y así sucesivamente. El segundo comerciante estuvo de acuerdo y durante las tres primeras semanas estuvo contento con los ingresos, pero al final del mes estaba completamente arruinado, entregando toda su fortuna al primero. Perelman da una versión según la cual la primera persona no da 10 000, sino 100 000 al día (en unidades monetarias rusas), pero el resultado no cambia significativamente.

En otra versión, una persona compra un caballo, pero no está satisfecha con el precio de 1000 rublos. El vendedor le ofrece pagar no por un caballo, sino por clavos de herradura, la mitad por el primero, dos por el segundo, un centavo por el tercero, y así sucesivamente. Como hay 6 clavos en cada herradura, el comprador se ve obligado a pagar más de 40 mil rublos.

La segunda mitad del tablero de ajedrez

En tecnología estratégica, "la segunda parte del tablero de ajedrez" es una frase acuñada por Ray Kurzweil en referencia al punto en el que el crecimiento exponencial de un factor comienza a tener un impacto económico significativo en la estrategia económica general de la empresa. Si bien la cantidad de granos en la primera mitad del tablero es grande, la cantidad en la segunda mitad es muchas veces mayor. El número de granos en la primera mitad del tablero es 1 + 2 + 4 + ... + 2 147 483 648 , en total 2 32 - 1 = 4 294 967 295 granos , o alrededor de 100 toneladas de arroz con un peso de un grano de 25 mg [3] . Esto es aproximadamente 1/1200000 de la cantidad total de arroz cultivado en India por año (datos de 2005) [4] .

La cantidad de grano en la segunda mitad del tablero es 2 32 + 2 33 + 2 34 ... + 2 63 \u003d 2 64 - 2 32 granos de arroz . Solo en la casilla 64 del tablero habrá 263 = 9223372036854776808 granos , más de 2 mil millones de veces más que en toda la primera mitad del tablero. En todo el tablero habrá 2 64 - 1 = 18 446 744 073 709 551 615 granos , su masa total será 461 168 601 842,7 toneladas .

Notas

↑ Consejo Internacional de Granos (IGC). Visión general del mercado de cereales . Consultado el 17 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 24 de noviembre de 2010. (indefinido)
↑ Perelman, 1967 .
↑ Arroz CRC...Tamaño y peso
↑ Política de arroz - Estadísticas mundiales de arroz del IRRI (WRS) Archivado el 16 de septiembre de 2008 en Wayback Machine .

Literatura

Ya. I. Perelman . La leyenda del tablero de ajedrez // Matemáticas en Vivo . - 8ª ed., revisada y complementada. - M.: Nauka, 1967. - S. 87 -91.
Raymond Kurzweil (1999). La Era de las Máquinas Espirituales , Vikingo Adulto. ISBN 0-670-88217-8 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Wheat and Chessboard Problem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Una narración de la fábula . (indefinido)