Grupo alterno

Un grupo alterno de permutaciones (permutaciones) de grado n es un subgrupo del grupo simétrico de grado que contiene solo permutaciones pares [1] . $S_{n}$ $norte$

Usualmente denotado . $Un}$

Propiedades

El índice de subgrupo de un grupo alterno en un grupo simétrico es 2: $[S_{n}:A_{n}]=2.$
Un grupo alterno es un subgrupo normal de un grupo simétrico (sigue de la declaración anterior).
El orden del grupo alterno es: $|A_{n}|=n!/2.$
El grupo alterno es el conmutador del grupo simétrico: ${\ estilo de visualización [S_{n},S_{n}]=A_{n}.}$
Cuando el grupo alternado es simple . ${\ estilo de visualización n \ geq 5}$ $Un}$
Un grupo alterno es soluble si y sólo si su orden es como máximo 4. Más precisamente, el grupo cuádruple de Klein , y para . $A_{2}=\{e\},A_{3}\cong \mathbb {Z} _{3},[A_{4};A_{4}]\cong V_{4}$ $n\geqslant 5\ [A_{n};A_{n}]\cong A_{n}$
El grupo tiene una idea. $Un}$ $A_{n}=\langle s_{3},...,s_{n}|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1 (3\leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$

aquí _

s_{i}\to (12i)

Notas

↑ NN Williams. Grupo alternante // Enciclopedia matemática : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : enfermo. — 150.000 copias.