Número ideal

Los números ideales fueron introducidos en 1847 por el matemático alemán Ernst Eduard Kummer [1] y sirvieron como punto de partida para determinar los ideales de anillos introducidos más tarde por Dedekind . En la actualidad, este término no se utiliza y ha sido reemplazado por el concepto de un ideal.

Un ideal en un anillo es principal si consta de elementos que son múltiplos de algún elemento, de lo contrario es no principal . Así, cada número del anillo puede asociarse con el ideal principal, mientras que podemos suponer la existencia de números ideales, que corresponderían a un ideal arbitrario.

Ejemplo

Sea y la raíz de la ecuación y ² + y + 6 = 0, entonces el anillo de enteros del campo es , es decir, todas las expresiones de la forma a + by , donde a y b son elementos del anillo de enteros . Un ejemplo de un ideal no principal en tal anillo es 2 a + yb , donde a y b son números enteros; el cubo de este ideal es principal, el grupo de clase es cíclico de orden 3. El campo de clase correspondiente se obtiene sumando todos los elementos w de la forma w ³ − w − 1 = 0 a , lo que da . El número ideal del ideal no principal 2 a + yb es . Dado que satisface la ecuación , es un entero algebraico. ${\matemáticas {Q}}(y)$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} [y]}$ ${\matemáticas {Q}}(y)$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Q} (y, w)}$ $\iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23$ $\iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0$

Todos los elementos del anillo de enteros del campo de clase, cuando se multiplican por ι, dan la forma a α + b β, donde ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} [y]}$

\alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23

\beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.

Los coeficientes α y β también son números enteros algebraicos que satisfacen

\alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0

\beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0

respectivamente. Multiplicando a α + b β por el número ideal ι, obtenemos 2 a + por , que es un ideal no principal.

Historia

Kummer escribió por primera vez sobre la posibilidad de una factorización no única en campos ciclotómicos (circulares) en 1844 en un diario oscuro; el artículo se repitió en 1847 en el diario de Liouville . En otros artículos de 1846 y 1847 publicó su teorema fundamental sobre la unicidad de la factorización en factores primos (reales e ideales).

Se cree que Kummer llegó a la idea de los "números complejos ideales" mientras estudiaba el Último Teorema de Fermat ; incluso se dice que Kummer, al igual que Lame , pensó que había probado el último teorema de Fermat, hasta que Dirichlet le dijo que su argumento descansaba en la unicidad de la factorización; pero esta historia fue contada por primera vez por Kurt Hansel en 1910 y probablemente se originó a partir de un error en una de las fuentes de Hansel. Harold Edwards dijo que "la creencia de que Kummer estaba seriamente interesado en el último teorema de Fermat es, sin duda, errónea".

Kronecker y Dedekind llevaron a cabo una generalización de las ideas de Kummer durante los siguientes cuarenta años. La generalización directa encontró serias dificultades, lo que llevó a Dedekind a crear la teoría de los módulos y los ideales . Kronecker abordó la dificultad desarrollando la teoría de las formas (una generalización de las formas cuadráticas ) y la teoría de los divisores . El trabajo de Dedekind formó la base de la teoría de anillos y el álgebra general , mientras que el trabajo de Kronecker creó la herramienta principal de la geometría algebraica .

Véase también

Notas

↑ Ideal // Kazajstán. Enciclopedia Nacional . - Almaty: Enciclopedias kazajas , 2005. - T. II. — ISBN 9965-9746-3-2 . (Ruso) (CC POR SA 3.0)

Literatura

Nicolas Bourbaki, Elementos de la Historia de las Matemáticas. Springer-Verlag, Nueva York, 1999.
Harold M. Edwards, El último teorema de Fermat. Introducción general a la teoría de números. Textos de Posgrado en Matemáticas vol. 50, Springer-Verlag, Nueva York, 1977.
C. G. Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akád. sabio Berlín (1839) 89-91.
EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constant, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Königsberg, 1844; reimpreso en Jour. deMath. 12 (1847) 185-212.
EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. Matemáticas de piel. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
John Stilwell, Introducción a la teoría de los enteros algebraicos de Richard Dedekind. Biblioteca Matemática de Cambridge, Cambridge University Press, Gran Bretaña, 1996.

Enlaces

Números ideales , una prueba de que la teoría de los números ideales conserva la unicidad de la factorización de los enteros ciclotómicos, en el blog El último teorema de Fermat .