Campo circular

El campo circular , o campo de la división de un círculo de grado n , es un campo generado al sumar al campo de los números racionales la raíz primitiva del enésimo grado de unidad . El campo circular es un subcampo del campo de los números complejos . $K_{n}={\matemáticas {Q}}(u)$ ${\ matemáticas {Q}}$ $tu$

El nombre del campo se debe a que dividir el círculo unitario en n partes iguales equivale a construir una raíz primitiva de unidad de la n- ésima potencia en el plano complejo . El estudio de los campos circulares desempeñó un papel importante en la creación y el desarrollo de la teoría de los números enteros algebraicos , la teoría de números y la teoría de Galois .

Ejemplo: consta de números complejos de la forma , donde son números racionales. $K_{3}$ $a+b{\raíz cuadrada {3}}\ yo$ $a, b$

Propiedades

El campo circular contiene todas las raíces n-ésimas de la unidad, así como los resultados de las operaciones aritméticas sobre ellas. No depende de la elección de la raíz n-ésima primitiva de la unidad.
- Corolario: el campo circular es el campo de descomposición del polinomio . $x^n-1$
$K_{{4n+2}}=K_{{2n+1}}$ , por lo que normalmente se supone que el resto cuando n se divide por 4 no es 2 . Bajo esta condición, diferentes n corresponden a campos circulares no isomorfos . $(n\not \equiv 2{\pmod {4)))$
El campo es una extensión de campo abeliano con grupo de Galois $K_n$ ${{\matemáticas Q}}$ $G(K_{n}/{{\mathbb Q)))\simeq (\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } )^{*},$

donde es el grupo multiplicativo de clases de residuos módulo n . El grado de expansión es φ( n ) ( función de Euler ).

(\mathbb{Z } /n\mathbb{Z } )^{*}

[K_{n}:{{\mathbb Q}}]

Teorema de Kronecker-Weber : Toda extensión finita abeliana del campo de los números racionales está contenida en algún campo circular.

Véase también

polinomio circular

Literatura

Ireland K., Rosen M. Una introducción clásica a la teoría de números moderna . M.: Mir, 1987.
Van der Waerden B. L. Álgebra. M.: Mir, 1975.

Enlaces

Milne, James S. Teoría algebraica de números . Notas del curso (1998). Archivado desde el original el 2 de abril de 2012. (indefinido)