Grupo de clase ideal

El grupo de clase ideal de un anillo de Dedekind es, en términos generales, un grupo que permite decir con qué fuerza se viola la propiedad factorial en un anillo dado . Este grupo es trivial si y solo si el anillo de Dedekind es factorial. Las propiedades de un anillo de Dedekind relativas a la multiplicación de sus elementos están íntimamente relacionadas con la estructura de este grupo.

Definición

Sea R un anillo integral , definimos una relación sobre sus ideales fraccionarios distintos de cero de la siguiente manera: si y solo si hay elementos a y b del anillo R distintos de cero tales que , es fácil demostrar que esto define un relación de equivalencia. Las clases de equivalencia con respecto a esta relación se denominan clases ideales . La multiplicación de clases definida como [ a ]*[ b ] = [ ab ] está bien definida, es asociativa y conmutativa; los ideales fraccionarios principales forman la clase [ R ] que es la identidad para esta multiplicación. La clase [ I ] tiene su clase inversa [ J ] si y solo si el ideal IJ es principal. En el caso general, tal J puede no existir, y las clases ideales serán solo un monoide conmutativo . $\sim$ $Yo \ sim J$ $(a)I=(b)J$

Si R también es un anillo de Dedekind (por ejemplo, el anillo de números algebraicos de algún campo numérico algebraico ), entonces todo ideal fraccionario I tiene un J inverso tal que IJ = R = (1). Por lo tanto, las clases ideales fraccionarias de un anillo de Dedekind con la multiplicación definida anteriormente forman un grupo abeliano , el grupo de clase ideal del anillo R.

Propiedades

Un grupo de clases ideal es trivial si y solo si todos los ideales del anillo R son principales, es decir, cuando R es un dominio ideal principal . Además, un anillo de Dedekind es factorial si y sólo si es un dominio de ideales principales.
El número de clases ideales de un anillo R puede ser, en general, infinito; además, cualquier grupo abeliano es isomorfo al grupo de clase de algún anillo de Dedekind [1] . Sin embargo, si R es el anillo de enteros de un campo numérico, entonces su número de clases es finito.
Calcular un grupo de clases es generalmente bastante difícil. Esto se puede hacer manualmente para un campo numérico algebraico con un discriminante pequeño , utilizando el límite de Minkowski . Para campos con un discriminante grande, el cálculo manual se vuelve poco práctico y generalmente se realiza por computadora.

Ejemplos

Número de clases de un campo cuadrático

Si d es un número sin cuadrados , entonces es un campo cuadrático . Si d < 0, el grupo de clase es trivial solo para los siguientes valores: En cuanto al caso d > 0, la cuestión de si el número de valores correspondientes al grupo de clase trivial es infinito sigue siendo un problema abierto. ${\mathbb Q}({\sqrt d})$ $d=-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.$

Un ejemplo de un grupo de clase no trivial

$R={\mathbb Z}[{\sqrt {-5}}]$ — anillo de campo numérico entero Este anillo no es factorial; de hecho el ideal ${\mathbb Q}({\sqrt {-5}}).$

J=(2,1+{\raíz cuadrada {-5}})

no es el principal. Esto se puede demostrar por contradicción de la siguiente manera. En es posible definir una función norma , y si y solo si x es invertible. En primer lugar, . El anillo del cociente es isomorfo al ideal , entonces . Si J es generado por un elemento x , entonces x divide a 2 y 1 + √−5. Por lo tanto, la norma x divide a 4 y 6, es decir, es igual a 1 o 2. No puede ser igual a 1, ya que J no es igual a R , y no puede ser igual a 2, ya que no puede tener un resto de 2 módulo 5. Es fácil comprobar cuál es el ideal principal, por lo que el orden de J en el grupo de clases es 2. Sin embargo, comprobar que todos los ideales pertenecen a una de estas dos clases requiere un poco más de esfuerzo. $R$ $N(a+b{\sqrt 5})=a^{2}+5b^{2}$ $N(ab)=N(a)N(b)$ $N(x)=1$ $J\neq R$ $(1+{\sqrt {-5}})$ ${\mathbbZ}/6{\mathbbZ}$ $R/J\cong {\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $a^{2}+5b^{2}$ $J^{2}=(2)$

Notas

↑ Claborn, 1966

Literatura

Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. - M: Mir, 1972
Claborn, Luther (1966), Cada grupo abeliano es un grupo de clase , Pacific Journal of Mathematics , volumen 18: 219–222 , < http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.pjm /1102994263&page=record > Archivado el 7 de junio de 2011 en Wayback Machine .
Fröhlich, Albrecht & Taylor, Martin (1993), Teoría algebraica de números , vol. 27, Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-43834-6