Invariante de Kontsevich

La invariante de Kontsevich , (o la integral de Kontsevich [1] ) es una invariante de un enlace enmarcado orientado de cierto tipo. Es una invariante de Vasiliev universal [2] en el sentido de que cada coeficiente de la invariante de Kontsevich es una invariante de tipo finito , y viceversa, cualquier invariante de tipo finito puede representarse como una combinación lineal de dichos coeficientes. Es una generalización de gran alcance de una fórmula integral simple para el número de enlace [3] .

El invariante fue definido por Maxim Lvovich Kontsevich en 1992 en la prueba del teorema de Vasiliev-Kontsevich.

El invariante de Kontsevich es un invariante cuántico universal en el sentido de que cualquier invariante cuántico se puede obtener sustituyendo un sistema de peso apropiado en el diagrama de Jacobi .

Definición

El invariante de Kontsevich se define como la monodromía de la conexión Knizhnik-Zamolodchikov además de la unión de hiperplanos diagonales en C n [4] .

La integral de tipo Kontsevich más simple

Representemos el espacio tridimensional como producto directo de una recta compleja de coordenada z y una recta real de coordenada t . Incrustemos el vínculo en el espacio para que la coordenada t sea una función de Morse en L . Esto significa que en todos los puntos donde t como función de un parámetro en la curva tiene una derivada cero, su segunda derivada no debe desaparecer, y los valores de t en todos esos puntos (valores críticos) deben ser diferentes entre sí. [5] . Resulta que el número de enlace se puede calcular usando la siguiente fórmula: $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $\matemáticas {R}$ $L=K\taza K'$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {3} = z \ veces t}$

lk(K,K')={\tfrac {1}{2\pi }}\int_{m}^{M}\sum_{j}{\varepsilon_{j}{\frac { d(z_{j}(t)-z'_{j}(t))}{z_{j}(t)-z'_{j}(t)}}}

Fórmula de Kontsevich

La integral de Kontsevich (original) del nudo K es el siguiente elemento de la finalización del álgebra de diagramas de cuerdas [5] : ${\ Displaystyle {\ bar {\ mathcal {A}}}}$

Z(K)=\sum _{m=0}^{\infty }{{\tfrac {1}{(2\pi i)^{m))}\int _{t_{min}< t_{1}<\ldots <t_{m}<t_{max}}{\sum _{P=\left\{(z_{j},z'_{j})\right\}}{(- 1)^{\flecha abajo }D_{p}\bigwedge _{j=1}^{m}{\frac {dz_{j}-dz'_{j}}{z_{j}-z'_{j }}}}}}

Para obtener una explicación de esta fórmula, consulte el artículo de S. V. Duzhin . Si denotamos por H un nudo trivial cuya incrustación en el espacio da dos máximos y dos mínimos, obtenemos [6] :

{\displaystyle I(K)={\frac {Z(K)}{Z(K)^{c/2))))

donde c es el número de puntos críticos de la función t en K .

Se puede demostrar que la integral , en primer lugar, converge para cualquier nudo ubicado en el espacio de la manera indicada anteriormente, y en segundo lugar, no cambia para isotopías suaves del nudo, para las cuales se conserva el número de puntos críticos de la función t . Dado que el nodo es una curva cerrada, los puntos críticos pueden aparecer y desaparecer solo en pares. ${\ estilo de visualización Z (K)}$

${\ estilo de visualización I (K)}$ se llama la integral final de Kontsevich

La integral de Kontsevich es un objeto bastante complejo, y durante varios años nadie pudo calcular la integral de Kontsevich final, ni siquiera para un nudo trivial. Solo se conocían los coeficientes de algunos diagramas de cuerdas en una suma infinita.

En 1997 apareció (probada en 1998 [8] ) la conjetura de D. Bar-Nathan et al .[7] de que [9]

I(O)=\exp \sum _{n=1}^{\infty}{b_{2n}w_{2n))

aquí O es un equivalente sin nudo (círculo) a H, son números de Bernoulli modificados y son ruedas , es decir diagramas en forma de círculo con segmentos radiales. Los productos de ruedas se entienden como una unión disjunta de diagramas, y las propias ruedas se interpretan como combinaciones lineales de diagramas de Feynman (ver más abajo). ${\ Displaystyle b_ {2n}}$ ${\ estilo de visualización w_ {2n}}$

Diagrama de Jacobi

Diagrama de Feynman y diagrama de cuerdas

Un diagrama de Feynman de grado n es un grafo trivalente conexo con 2n vértices, en el que se distingue un ciclo orientado, llamado bucle de Wilson [10] . El diagrama de cuerdas es un caso especial de los diagramas de Feynman (tienen todos los vértices trivalentes en el bucle de Wilson). El grado de un diagrama de Feynman es la mitad del número total de vértices en el gráfico. Un diagrama de Feynman se llama conectado si el gráfico correspondiente permanece conectado después de descartar el bucle de Wilson [3] .

Definición

Sea X un círculo (que es una variedad unidimensional y servirá como un bucle de Wilson ). Como se muestra en la figura de la derecha, el diagrama de Jacobi de orden n es un gráfico con 2n vértices, en el que el círculo exterior (bucle de Wilson) está representado por una línea continua, y las líneas discontinuas se denominan gráfico interior, lo que satisface las siguientes condiciones:

La dirección se indica solo en el bucle exterior.
Vértices con un valor de 1 o 3. Los vértices con un valor de 3 están conectados a uno de los otros (medios) bordes en el sentido de las agujas del reloj o en el sentido contrario a las agujas del reloj, representado por un pequeño círculo orientado.

Los vértices con un valor de 1 a menudo se denominan univalentes, y los que tienen un valor de 3 se denominan trivalentes [11] . Los vértices univalentes están conectados al círculo exterior sin multiplicidad y ordenados por la orientación del círculo. El diagrama de Jacobi se puede desconectar y se requiere que cada componente conectado tenga al menos un vértice univalente [11] . Los bordes en G se llaman cuerdas . Denotamos por A ( X ) el espacio cociente del grupo conmutativo formado por todos los diagramas de Jacobi en X por las siguientes relaciones:

(relación AS) + = 0 (relación IHX) = − (relación STU) = − (relación FI) = 0.

Si cualquier componente conexa de G tiene un vértice con valor 3, entonces podemos convertir el diagrama de Jacobi en un diagrama de cuerdas aplicando recursivamente la relación STU. Si nos limitamos a los diagramas de cuerdas, entonces las cuatro relaciones anteriores se reducen a las siguientes dos relaciones:

(Relación de cuatro términos) − + − = 0. (relación FI) = 0.

Nota: en los diagramas de Jacobi [12] se permiten múltiples aristas y bucles colgantes .

Propiedades

Tomando la media aritmética sobre todas las formas de unir el bucle de Wilson a vértices univalentes, cualquier diagrama de Jacobi se puede convertir en una combinación lineal de diagramas de Feynman [11] .

Es más conveniente trabajar con diagramas de Jacobi que con diagramas de Feynman, ya que, además de la clasificación general por la mitad del número de vértices, existen dos clasificaciones adicionales: por el número de componentes conexas y por el número de vértices univalentes [13 ] .

El grado u orden de un diagrama de Jacobi se define como la mitad de la suma de los números de sus vértices. Este número es siempre un número entero y es igual al número de cuerdas en el diagrama de cuerda obtenido del diagrama de Jacobi [12] .
Al igual que los tejidos , los diagramas de Jacobi forman una categoría monoide . La composición y el producto tensorial de los morfismos se definen mediante el método de "apilamiento de cajas":

En otras palabras, un producto tensorial de morfismos es una unión disjunta, y una composición es un pegado de las partes correspondientes de la frontera [14] .

- En el caso especial donde X es un intervalo de I , A ( X ) será un álgebra conmutativa. Considerando A ( S 1 ) como un álgebra con la multiplicación definida como una suma conexa , A ( S 1 ) es isomorfa a A ( I ) .
El diagrama de Jacobi puede verse como una abstracción de la representación de un álgebra tensorial generada por álgebras de Lie, lo que nos permite definir algunas operaciones análogas a los coproductos, counidades y antípodas de las álgebras de Hopf .
Dado que las invariantes de Vassiliev (invariantes de tipo finito) están estrechamente relacionadas con los diagramas de cuerdas, se puede construir un nudo singular a partir de un diagrama de cuerdas G en S 1 . K n denota el espacio formado por todos los nudos singulares de grado n , cada uno de estos G define un único elemento en K m / K m +1 .

Sistema de pesas

El mapeo de diagramas de Jacobi a números positivos se llama sistema de peso . Un mapeo extendido a A ( X ) también se llama sistema de ponderación. Los sistemas tienen las siguientes propiedades:

Sea g un álgebra de Lie semisimple y ρ su representación. Obtenemos un sistema de pesos "sustituyendo" el tensor invariante g en la cuerda del diagrama de Jacobi y ρ en la variedad base X del diagrama de Jacobi.
- Podemos considerar los vértices trivalentes de los diagramas de Jacobi como un producto de paréntesis del álgebra de Lie, las flechas de una línea continua como representación del espacio
ρ y los vértices univalentes como acciones del álgebra de Lie.
La relación IHX y la relación STU corresponden respectivamente a la identidad de Jacobi y la definición de la representación

ρ ([ un , segundo ]) v = ρ ( un ) ρ ( segundo ) v - ρ ( segundo ) ρ ( un ) v .

El sistema de pesos juega un papel esencial en la demostración de la conjetura de Mervin-Morton [15] , que establece una conexión entre los polinomios de Alexander y los polinomios de Jones .

Historia

Los diagramas de Jacobi se introdujeron por analogía con los diagramas de Feynman cuando Kontsevich definió los invariantes de nudo en términos de integrales múltiples en la primera mitad de la década de 1990 [16] . Representó los puntos singulares como cuerdas, por lo que solo trabajó con diagramas de cuerdas. D. Bar-Nathan los formuló más tarde como gráficos de uno y tres valentes, estudió sus propiedades algebraicas y los llamó "diagramas de caracteres chinos" en su artículo [17] . Se han utilizado varios términos para referirse a estos diagramas, incluidos "diagramas de cuerdas" y "diagramas de Feynman", pero desde aproximadamente el año 2000 se les ha llamado diagramas de Jacobi, ya que la relación IHX corresponde a la identidad de Jacobi para las álgebras de Lie .

Notas

↑ Chmutov, Duzhi, 2012 .
↑ Kontsevich, 1993 , pág. 137.
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , pág. 101.
↑ Duzhin, 2011 , pág. 26
↑ 1 2 Duzhin, 2010 , pág. 102.
↑ Duzhin, 2010 , pág. 104.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, Rozansky, Thurston, 2000 , pág. 217-237.
↑ Bar-Natan, Le, Thurston, 2003 , pág. 1-31.
↑ Duzhin, 2010 , pág. 105.
↑ Duzhin, 2010 , pág. 100.
↑ 1 2 3 Duzhin, 2010 , pág. 107.
↑ 1 2 Chmutov, Duzhin, Mostovoy, 2012 , p. 127.
↑ Duzhin, 2010 , pág. 108.
↑ Rumano, 2013 , p. 1128-1149.
↑ Bar-Natan, Garoufalidis, 1996 , p. 103-133.
↑ Kontsevich, 1993 , pág. 137-150.
↑ Bar-Natán, 1995 , pág. 423-472.

Literatura

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D. A. Rumynin. Álgebras de mentira en categorías monoidales simétricas // Sib. Matemáticas. revista .. - 2013. - T. 54 , núm. 5 .
S. Chmutov, S. Duzhin, J. Mostovoy. Introducción a las invariantes del nudo de Vassiliev (también conocido como CDBook) . - Prensa de la Universidad de Cambridge, 2012. - ISBN 978-1-107-02083-2 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis. Sobre la conjetura de Melvin-Morton-Rozansky // Inventiones Mathematicae. - 1996. - Edición. 125 .
D. Bar-Natan, S. Garoufalidis, L. Rozansky, D. Thurston. Ruedas, ruedas y la integral de Kontsevich del desanudado // Israel Journal of Mathematics .. - 2000. - T. 119 . -arXiv : q - alg/9703025 .
D. Bar-Natan, TQT Le,D. P. Thurston. Dos aplicaciones de la teoría elemental de nudos a álgebras de Lie e invariantes de Vassiliev // Geometría y topología.. - 2003. - Vol . 7(1) .
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