Integral de Duhamel

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La integral de Duhamel es un tipo especial de integral que se utiliza para calcular la respuesta de los sistemas lineales a una acción de entrada que cambia arbitrariamente en el tiempo. La aplicabilidad de esta integral se basa en el principio de superposición para sistemas lineales, en el que su respuesta a la suma de varias influencias, tanto simultáneas como desplazadas en el tiempo, es igual a la suma de las respuestas de cada uno de los términos de las señales. .

Se utiliza para calcular las respuestas de sistemas mecánicos lineales, circuitos eléctricos lineales, etc.

Nombrado en honor a Jean Marie Constant Duhamel , un matemático francés que lo propuso para calcular la respuesta de los sistemas mecánicos.

La idea de aplicar el método es la siguiente. La señal de entrada se representa como una suma (generalmente infinita) de algunas señales estándar para las que se conoce la respuesta del sistema , denominada función transitoria . $h(t)$

Este método utiliza la función de paso de Heaviside como entrada estándar . La respuesta del sistema se expresa como una integral del producto de la acción retardada y de entrada ( convolución de funciones ), que se denomina integral de Duhamel. ${\ estilo de visualización H (t)}$ $h(t)$

Así, conociendo la respuesta del sistema al impacto en forma de función de Heaviside, descrita en forma analítica u obtenida experimentalmente, es posible predecir (calcular) la respuesta del sistema a un impacto de entrada arbitrario.

Fórmulas

Para utilizar la integral de Duhamel, primero es necesario calcular o medir la función de transición del sistema , que es la respuesta del sistema a una única señal de entrada paso a paso (Fig. 2). $h(t)$

La función de transición, si se desconoce, se encuentra por cualquier método disponible (solución de un sistema de ecuaciones diferenciales, método del operador por medida, etc.). Para un sistema lineal, la función de transición puede ser un proceso aperiódico, oscilatorio, oscilatorio amortiguado, o una combinación de varios de estos procesos. Por ejemplo, para el sistema de la Fig. 1, la función de transición es un proceso aperiódico representado en la fig. 2 [1] .

Si la señal de entrada del sistema se describe mediante la función , donde es una variable independiente, la respuesta del sistema a esta señal se expresa mediante la fórmula, donde es la derivada temporal de la acción de entrada: ${\ estilo de visualización U (\ tau)}$ $\tau$ ${\ Displaystyle U' (\ tau)}$

Y(t)=U(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U'(\tau)h(t-\tau)d\tau .

Si la señal de entrada es compuesta y la función experimenta discontinuidades (puntos de tiempo , en la Fig. 3), entonces la fórmula anterior es válida solo en el intervalo [0, ]: $Utah)$ $t_{1}$ $t_{2}$ $t_{1}$

Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

La respuesta en los intervalos restantes se calcula mediante las fórmulas siguientes del principio de superposición:

Y_{2}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t -\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _ {t_{1}}^{t}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau ;

Y_{3}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t -\tau )d\tau +\left[U_{2}(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+

+\int _{t_{1}}^{t_{2}}U_{2}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{3}(t_{ 2})-U_{2}(t_{2})\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau .

Las últimas fórmulas significan que:

La respuesta del sistema, que surgió en las primeras etapas del desarrollo del proceso, continúa operando en todos los intervalos de tiempo posteriores.
Romper la función en el momento del tiempo por un valor es equivalente a sumar o restar de la señal de entrada una función unitaria con el coeficiente apropiado y desplazada por el intervalo de tiempo correspondiente , lo que agrega una señal adicional a la respuesta del sistema . ${\ estilo de visualización t_ {p}}$ $mi$ $E\cdot 1(t-t_{p})$ $E\cdot h(t-t_{p})$
A las señales de respuesta indicadas anteriormente, en intervalos de tiempo posteriores, se suman las respuestas calculadas por las mismas fórmulas, teniendo en cuenta el desplazamiento de la señal de entrada por el tiempo correspondiente.

Un ejemplo de aplicación de la integral de Duhamel para resolver

Para el circuito lineal fig. 1 encontramos la corriente a través del condensador bajo la acción de la señal de entrada compleja que se muestra en la fig. 3. ${\ Displaystyle I_ {3} (t)}$

Cálculo de la función de transición

Para encontrar la forma de la función de transición, encontramos soluciones a la ecuación característica

{\ estilo de visualización Z (p) = 0,}

donde está la impedancia de entrada del sistema escrita en forma de operador desde el lado de la fuente de la señal, es una variable compleja . ${\ estilo de visualización Z (p)}$ $pags$

Z(p)=R_{1}+R_{2}||X_{C}=R_{1}+{\frac {R_{2}}{1+R_{2}pC}}={ \frac{R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC}{1+R_{2}pC}};

R_{1}+R_{2}+R_{1}R_{2}pC=0;

p=-{\frac{R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}=-A.

La ecuación característica tiene una solución real, por lo que la función de transición es un exponente :

h(t)=h_{0}e^{-At}.

Suponiendo que en el momento en que se descarga el capacitor, obtenemos $t = 0$

h_{0}=h(0)={\frac {1}{R_{1))};h(t)={\frac {1}{R_{1))}e^{-En }.

Cálculo de la respuesta de un sistema a una señal compleja

Intervalos de cálculo
Señal	Intervalo	${\ Displaystyle U_ {i} (t)}$	${\ Displaystyle U'_ {i} (t)}$
${\ Displaystyle U_ {1} (t)}$	${\ estilo de visualización 0... t_ {1}}$	${\frac{2E}{t_{1))}t$	${\ Displaystyle {\ frac {2E} {t_ {1}}}}$
${\ Displaystyle U_ {2} (t)}$	${\ estilo de visualización t_{1}... t_{2}}$	$mi$	${\ estilo de visualización 0}$
${\ Displaystyle U_ {3} (t)}$	$t_{2}...{\mathcal {1}}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$

Representación de señal

Representamos una señal de entrada compleja como una función por partes en tres intervalos de tiempo indicados en la tabla.

Solución

La solución se busca por tramos, para cada intervalo de tiempo, en las fórmulas $A={\frac {R_{1}+R_{2}}{R_{1}R_{2}C}}.$

Y_{1}(t)=U_{1}(0)\cdot h(t)+\int _{0}^{t}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =

=0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-At}+\int _{0}^{t}{\frac {2E}{t_{1}}} \cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-A(t-\tau )}{\Bigr |}_{0}^{t}={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}\cdot (1-e^{-At}).

Y_{2}(t)=\int_{0}^{t_{1}}U_{1}'(\tau )h(t-\tau )d\tau +\left[U_{2 }(t_{1})-U_{1}(t_{1})\right]\cdot h(t-t_{1})+\int _{t_{1}}^{t}U_{2} '(\tau)h(t-\tau)d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)+(E-2E)\cdot { \frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\int _{t_{1}}^{t}0\cdot {\frac {1}{ R_{1}}}e^{-A(t-\tau)}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}.

Y_{3}(t)={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{ \frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{1})}+\left[U_{3}(t_{2})-U_{2}(t_{2} )\right]\cdot h(t-t_{2})+\int _{t_{2}}^{t}U_{3}'(\tau )h(t-\tau )d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}+(0-E)\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{ 2})}+\int _{t_{2}}^{t}0\cdot {\frac {1}{R_{1}}}e^{-A(t-\tau)}d\tau =

={\frac {2E}{At_{1}R_{1}}}e^{-At}\cdot (e^{At_{1}}-1)-{\frac {E}{R_ {1}}}e^{-A(t-t_{1})}-{\frac {E}{R_{1}}}e^{-A(t-t_{2})}.

Enlaces

Bessonov L. A. Fundamentos teóricos de la ingeniería eléctrica: circuitos eléctricos. proc. para estudiantes de las especialidades eléctrica, energética y de instrumentación de las universidades. - 7ª ed., revisada. y adicional - M.: Superior. escuela, 1978. - 528 p.
Matkhanov P. N. Fundamentos del análisis de circuitos eléctricos. Cadenas lineales.: Proc. para ingeniería eléctrica ingeniería de radio especialista. universidades 3ra ed., revisada. y adicional - M.: Superior. escuela, 1990. - 400 p.
Ni Zhenhua . Mecánica de Vibraciones. Xi'an Jiaotong University Press, Xi'an, 1990 (en chino).
RW Clough, J. Penzien . Dinámica de Estructuras. mcgraw hill inc. , Nueva York, 1975.
Anil K Chopra . Dinámica de Estructuras - Teoría y aplicaciones a la Ingeniería Sísmica. Pearson Education Asia Limited y Tsinghua University Press , Beijing, 2001.
Leonard Meirovitch . Elementos de Análisis de Vibraciones. mcgraw hill inc. , Singapur, 1986.
Fórmula de Duhamel en "Dispersive Wiki".
Cálculo del proceso transitorio mediante la integral de Duhamel .
Integral de Duhamel. Método de variables de estado .
Características transitorias y de impulso. Integral de Duhamel .
Integral de Duhamel .

Notas

↑ Neiman L. R., Demirchyan K. S. Fundamentos teóricos de la ingeniería eléctrica: en 2 volúmenes. Libro de texto para universidades. Tomo I. - 3ª ed., Revisada. y adicional - L .: Energoizdat. Leningrado. departamento, 1981. - 536 p., il.

Véase también

Transformada de Laplace