Integrales de Fresnel

Las integrales de Fresnel S ( x ) y C ( x ) son funciones especiales que llevan el nombre de Augustin Jean Fresnel y se utilizan en óptica . Surgen al calcular la difracción de Fresnel y se definen como

S(x)=\int \limits_{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits_{0}^{ x}\cos(t^{2})\,dt.

Un gráfico paramétrico de S ( x ) y C ( x ) da una curva en el plano, llamada espiral de Cornu o clotoide .

Expansión de la serie

Las integrales de Fresnel se pueden representar mediante series de potencias que convergen para todo x :

S(x)=\int \limits_{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac { x^{7}}{42}}+{\frac{x^{11}}{1320}}-\cdots,

C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty}(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac { x^{9}}{216}}-\cdots.

Algunos autores [1] utilizan como argumento los integrandos trigonométricos . Las integrales de Fresnel así definidas se obtienen a partir de las integrales definidas anteriormente cambiando la variable y multiplicando las integrales por . ${\frac {\pi}{2}}t^{2}$ $t\to {\sqrt {\frac {\pi }{2))}t$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {\ frac {2} {\ pi}}}}$

Espiral Cornu

Una espiral de Cornu , también conocida como clotoide , es una curva que es un gráfico paramétrico de S ( t ) versus C ( t ). La espiral de Cornu fue inventada por Marie Alfred Cornu para facilitar el cálculo de la difracción en problemas aplicados.

Porque

C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^ {2})=1,

entonces en esta parametrización el vector tangente tiene longitud unitaria, por lo que t es la longitud de la curva medida desde el punto (0,0). Por lo tanto, ambas ramas de la espiral tienen una longitud infinita.

La curvatura de esta curva en cualquier punto es proporcional a la longitud del arco entre ese punto y el origen. Debido a esta propiedad, se usa en la construcción de carreteras, ya que la aceleración angular de un automóvil que se mueve a lo largo de esta curva a una velocidad constante permanecerá constante.

Propiedades

$S(x)$ y son funciones impares . $C(x)$ $X$

Las asintóticas de las integrales de Fresnel vienen dadas por las fórmulas $x\a\infty$

S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{signo}}{(x))){2}}-{\ fracción {\ cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),

C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{signo}}{(x))){2}}+{\ frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).

Usando la expansión en serie, se puede construir una continuación analítica de las integrales de Fresnel para todo el plano complejo. Las integrales complejas de Fresnel se expresan en términos de la función de error como

S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\, x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\ ,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

Las integrales de Fresnel no se expresan en términos de funciones elementales excepto en casos especiales. El límite de estas funciones en es igual a $x\rightarrow\infty$

\int \limits _{0}^{\infty}\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty}\sin t^{2}\,dt ={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.

Cálculo

Los límites de las funciones C y S en se pueden encontrar utilizando la integración de contorno. Para ello, tomamos la integral de contorno de la función $x\rightarrow\infty$

e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}

a lo largo del límite del sector en el plano complejo formado por el eje x, el rayo y el círculo de radio R con centro en el origen. $y=x$ $x \geqslant 0$

En , la integral a lo largo del arco tiende a 0, la integral a lo largo del eje real tiende al valor de la integral de Poisson $R\rightarrow\infty$

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2 }}},

y, después de algunas transformaciones, la integral a lo largo del rayo restante se puede expresar en términos del valor límite de la integral de Fresnel.

Véase también

Notas

Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas. - Nueva York: Dover, 1972. (Ver parte 7) (ing.)

↑ Ecuaciones 7.3.1 - 7.3.2

Enlaces

Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld . (Inglés)
Weisstein, Eric W. Cornu Espiral (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld . (Inglés)
R. Nave, La espiral de Cornu , Hiperfísica (2002) (Usa πt²/2 en lugar de t². )
Roller Coaster Loop Shapes (enlace no disponible) . Consultado el 13 de agosto de 2008. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2006. (indefinido) (Inglés).