Integral de veneno

La integral de Poisson es el nombre general de las fórmulas matemáticas que expresan la solución de un problema de valor límite o un problema inicial para algunos tipos de ecuaciones diferenciales parciales.

El problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace

La integral de Poisson para el problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en una pelota es la siguiente.

Sea para una función u ( r , φ) armónica en la bola , la condición de igualdad se establezca en el límite de la función u 0 : u ( R , φ) = u 0 (φ), mientras que las funciones pertenecen a la siguiente suavidad clases: , donde ∂ D es el límite de la bola D , y es su cierre. Entonces, la solución de tal problema de Dirichlet se puede representar como una integral de Poisson: $u(r,\varphi )\en C^{2}(D)\cap C({\overline {D))),\ u_{0}(\varphi )\en C^{1}( \parte D)$ $\overline {D}$

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{\omega _{n}R}}\int \limits_{\parcial D}{\frac {u_{0}(\psi )}{|r-\psi |^{n}}}\,dS(\psi ),\ r\in [0;R),

donde ω n es el área de la esfera unitaria y n es la dimensión del espacio.

Derivación de la fórmula en el caso bidimensional

Se sabe que la función

u(r,\varphi )=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}( a_{n}\cos n\varphi +{\tilde {a}}_{n}\sin n\varphi )

es una solución del problema de Dirichlet para la ecuación de Laplace en un círculo. Transformemos esta expresión teniendo en cuenta las expresiones para los coeficientes de Fourier :

u(r,\varphi )={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi +{ \frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\left(\cos n\ varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\cos n\psi d\psi +\sin n\varphi \int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi)\sin(n\psi)d\psi\right)=

={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left(\sum _{n=1}^{ \infty }\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}(\cos n\varphi \cos n\psi +\sin n\varphi \sin n\psi )\right)d \psi +{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )d\psi =

={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }u_{0}(\psi )\left({\frac {1}{2)) +\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n(\varphi -\psi )\right)d\psi .

La última suma se puede calcular para 0≤ r < R :

{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty}\left({\frac {r}{R}}\right)^{n}\cos n (\varphi -\psi )={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {r}{R}} e^{i(\varphi -\psi )}\right)^{n}={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac {{\frac {r}{R}} e^{i(\varphi -\psi )}}{1-{\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )))}=

={\frac {1}{2}}+\operatorname {Re} {\frac ({\frac {r}{R}}e^{i(\varphi -\psi )}\left(1 -{\frac {r}{R}}e^{-i(\varphi -\psi )}\right)}{1-2{\frac {r}{R}}\cos(\varphi -\psi )+\left({\frac {r}{R}}\right)^{2}}}={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\left(R^{2 }+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )\right)}}.

Así, en la forma transformada, la integral de Poisson para el círculo toma la forma:

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits_{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).

Además, la fórmula se puede obtener por el método de mapeos conformes. Las partes real e imaginaria de una función holomorfa en un dominio satisfacen la ecuación bidimensional de Laplace en él. Se sabe que bajo un mapeo conforme de un dominio plano sobre un dominio plano , la ecuación de Laplace para la función pasa a la ecuación . Con la ayuda de una función fraccionaria lineal, es fácil obtener un mapeo del círculo original de radio en un círculo unitario, en el que un punto arbitrario va al centro. Tal función se parece a: $tu$ $tu$ $z=x+iy$ $V$ ${\ estilo de visualización w = \ xi + i \ eta}$ $tu(x,y)$ ${\ estilo de visualización \ triángulo u (\ xi, \ eta) = 0}$ $R$ $z_{0}=r_{0}e^{i\varphi _{0))$

w=\rho e^{i\psi }=f(z)=\lambda {\frac {z-z_{0}}{z-{\frac {R^{2}}{{\bar {z}}_{0}}}}}=\lambda {\frac {z-r_{0}e^{i\varphi _{0}}}{z-{\frac {R^{2}} {r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},

donde se elige de modo que los puntos límite del círculo original vayan a los puntos , mientras que y es arbitrario. La función deseada irá a la función . La función de frontera irá a . Entonces por el teorema del valor medio : $\lambda$ ${\ estilo de visualización | w | = 1}$ ${\displaystyle |\lambda |={\frac{R}{r_{0))))$ ${argumento}(\lambda)$ ${\ estilo de visualización u (r, \ varphi)}$ ${\ estilo de visualización U (\ rho, \ psi)}$ $u_{0}(\varfi)$ $U_{0}(\psi )=u_{0}(\varphi (1,\psi ))$

u(r_{0},\varphi_{0})=U\vert_{w=0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits_{0}^{ 2\pi }U_{0}(\psi )d\psi .

A partir de esta expresión, se puede obtener una expresión explícita para resolver el problema de Dirichlet en un círculo, si se expresa en términos de . Para los puntos límite de un círculo y un círculo , la fórmula de transformación lineal-fraccional da $U_{0}(\psi )$ $u_{0}(\varfi)$ ${\ estilo de visualización | z | \ leqslant R}$ ${\ estilo de visualización | w | \ inclinado 1}$

e^{i\psi }={\frac {R}{r_{0))}{\frac {Re^{i\varphi }-r_{0}e^{i\varphi _{0} }}{Re^{i\varphi}-{\frac {R^{2}}{r_{0}}}e^{i\varphi _{0}}}},

dónde

d\psi ={\frac {R^{2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\ varphi -\varphi _{0})}}d\varphi .

Al cambiar la variable en la integral, obtenemos la expresión deseada:

u(r_{0},\varphi _{0})={\frac {1}{2\pi }}\int \limits_{0}^{2\pi }{\frac {R^ {2}-r_{0}^{2}}{R^{2}+r_{0}^{2}-2Rr_{0}\cos(\varphi -\varphi _{0})}}u_{ 0}(\varphi)d\varphi,\r_{0}\en [0,R).

Esta expresión es equivalente a la anterior:

u(r,\varphi )={\frac {R^{2}-r^{2}}{2\pi }}\int \limits_{0}^{2\pi }{\frac {u_{0}(\psi )d\psi }{R^{2}+r^{2}-2Rr\cos(\varphi -\psi )}},\ r\in [0,R).

El problema de Cauchy para la ecuación del calor

Ecuación homogénea

Considere el problema de Cauchy para la ecuación de calor homogéneo :

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))-a^{2}\Delta u=0,\quad x\in {\mathbb {R))^ {n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\\ \end{matriz}}

donde es la función inicial , continua y acotada en todo el espacio, y la función deseada es continua y acotada para y todos los valores del argumento . $\varfi(x)$ $u=u(x,t)$ $t\geq 0$ $X$

La solución fundamental o núcleo de la ecuación del calor es la solución del problema de Cauchy para la ecuación del calor homogénea con la condición inicial , donde es la función delta de Dirac . Parece que: $\varphi(x)=\delta(x)$ $\delta(x)$

\Phi (x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\exp {\biggl (}-{\frac {|x|^{ 2}}{4a^{2}t}}{\biggr )},\ \ x\in {\mathbb {R}}^{n},\ t>0.

donde es el cuadrado escalar estándar del vector .

|x|^{2}=x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}

x \in \mathbb{R}^n

La integral de Poisson define la única solución continua y acotada del problema de Cauchy dado de acuerdo con la siguiente fórmula [1] :

u(x,t)=\int \limits_{{{\mathbf {R}}^{n}}}\Phi (xy,t)\,\varphi (y)\,dy={\frac {1 }{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n))}\exp {\biggl (}-{\ frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy.

Ecuación no homogénea

Considere el problema de Cauchy para la ecuación de calor no homogénea :

{\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t))-a^{2}\Delta u=f(x,t),\quad x\in {\mathbb {R}}^{n},\;t>0,\\{}\qquad u(x,\;0)=\varphi (x),\quad x\in {\mathbb {R}}^{ n}.\\\end{matriz}}

En este caso, la integral de Poisson tiene la forma [2] :

u(x,t)={\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi t)))^{n))}\int \limits _{({\mathbf {R))^{n} }}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}t}}{\biggr )}\,\varphi (y)\,dy+

$+\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{({\mathbf {R}}^{n}}}{\frac {1}{(2a{\sqrt {\pi (ts ))))^{n}}}\exp {\biggl (}-{\frac {|xy|^{2}}{4a^{2}(ts))){\biggr )}\,f( y,s)\,dy\,ds.$

Generalizaciones

Según el teorema del dominio de Riemann , un dominio conectado simplemente conectado es conformemente equivalente a un disco con una métrica de Poincaré, es decir, el plano de Lobachevsky . Admite la descripción como un espacio homogéneo , a saber . Sus parientes más cercanos son el espacio de Lobachevsky multidimensional , así como los espacios de Lobachevsky complejos y de cuaterniones . ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ $\mathrm {SO} (2,1)/\mathrm {SO} (2)$ $\Lambda ^{n+1}=\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$ $\Lambda_{\mathbb {C} }^{n+1}=\mathrm {SU} (n+1,1)/\mathrm {SU} (n+1)$ $\Lambda_{\mathbb {H} }^{n+1}=\mathrm {Sp} (n+1,1)/\mathrm {Sp} (n+1)$

En el caso de un espacio real de Lobachevsky, P.-I encontró un análogo de la transformación de Poisson para formas externas de Cartan . Geyar . Asocia una forma externa definida en lo absoluto con una forma cocerrada armónica en el espacio de Lobachevsky. Es decir, el espacio , donde es un absoluto, es un espacio homogéneo para el grupo . Tiene formas externas invariantes (es decir, aquellas que, quizás, toman valores distintos de cero solo cuando se sustituyen campos vectoriales relacionados con el factor y campos vectoriales relacionados con el factor absoluto). Si , entonces la integral de Poisson se define como la integral en capas del producto exterior , donde es la proyección sobre el factor. Estas formas son, en esencia, núcleos de Poisson superiores. Se pueden dar formas invariantes en un espacio homogéneo en un punto, y corresponden uno a uno a subrepresentaciones triviales del grado exterior de la correspondiente representación adjunta del grupo con respecto al cual el espacio es homogéneo; en el caso de un espacio de Lobachevsky real, tales formas son únicas hasta la proporcionalidad debido a la unidimensionalidad de la subrepresentación trivial correspondiente. ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {n + 1} \ veces S ^ {n})$ $S^{n}=\parcial\Lambda^{n+1}$ $\mathrm {SO} (n+1,1)/\mathrm {SO} (n+1)$ $\pi _{k}\in \Omega ^{k,nk}(\Lambda ^{n+1}\times S^{n})$ $k$ ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {n + 1}}$ $nk$ ${\ estilo de visualización \ alfa \ en \ Omega ^ {k} (S ^ {n})}$ $p_{S^{n}}^{*}\alpha \cuña \pi _{k}$ $p_{S^{n}}\dos puntos \Lambda ^{n+1}\times S^{n}\to S^{n}$

En el caso de los espacios de Lobachevsky complejos y de cuaterniones, estas subrepresentaciones ya no son unidimensionales, por lo que no es posible definir ninguna transformación canónica de Poisson de esta manera. Esto, sin embargo, es posible teniendo en cuenta una estructura geométrica más fina sobre el absoluto: a saber, el absoluto del espacio complejo de Lobachevsky (así como el límite de cualquier variedad compleja en general) tiene una estructura KP , es decir, una estructura completamente distribución no integrable (que, si la esfera se realiza como esfera unitaria en el espacio , puede definirse en cada punto como el máximo subespacio complejo contenido en el espacio tangente a la esfera). En el caso del espacio cuaterniónico de Lobachevsky, la llamada estructura de contacto de cuaterniones juega un papel similar . Con cada distribución completamente no integrable se asocia un complejo de Ryumin , que es análogo al complejo de Rham de una variedad suave. Su análogo, que puede definirse en términos puramente algebraicos de la teoría de la representación, se denomina complejo de Bernstein - Gelfand - Gelfand . Tiene operaciones naturales relacionadas con el elemento Casimir . Las condiciones adicionales sobre cómo debe comportarse el kernel de Poisson con respecto a tales operaciones hacen posible elegirlo de manera única hasta la proporcionalidad. [3] ${\ estilo de visualización S^{2n+1}}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda _ {\ mathbb {C}} ^ {n + 1}}$ ${\ estilo de visualización S^{2n+1}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ ${\ estilo de visualización x \ en S^{2n+1}}$ $T_{x}S^{2n+1}$

Literatura

Petrovski IG Conferencias sobre ecuaciones diferenciales parciales. - cap. IV, § 40. - Cualquier edición.
Tikhonov A. N., Samarskii A. A. Ecuaciones de física matemática. - cap. tercero - Cualquier edición.
Uroev V. M. Ecuaciones de física matemática. - M .: SI Yauza, 1998. - ISBN 5-88923-026-3 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. - M. : Nauka, 1974. - 320 p.

Notas

↑ Petrovski I. G. Conferencias sobre ecuaciones diferenciales parciales. - cap. IV, § 40. - Cualquier edición.
↑ Erich Miersemann. Partielle Differenzialgleichungen, pág. 156 . Consultado el 11 de junio de 2015. Archivado desde el original el 27 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Andreas Cap, Christoph Harrach, Pierre Julg. Una transformada de Poisson adaptada al complejo Rumin . Archivado el 2 de junio de 2019 en Wayback Machine , 2019.