Clase Pontryagin
La clase Pontryagin es una clase característica definida para paquetes de vectores reales . El concepto fue introducido en 1947 por el matemático soviético L. S. Pontryagin .
Para un paquete vectorial con base , las clases de Pontryagin se denotan con el símbolo y se supone que son iguales a
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86daa5c1c27e97822f55afc03b400b0faa49d5ab)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbd7022782efe3efcb2d185f1729abf4a31dbba)
,
donde es la complejización del paquete , ya son las clases de Chern .
![{\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815668bf19857f0ca128a9470709bea4718c65bc)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![c_{yo}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2)
Una clase Pontryagin completa es una clase característica no homogénea
![{\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817bd5bb5e49355d7696be6cc609cb74aecc9d22)
.
Si es una variedad suave y el paquete no se especifica explícitamente, entonces se supone que hay un paquete tangente .
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Propiedades
- La clase L y la clase - de Hirzebruch se expresan en términos de las clases de Pontryagin.
![{\ sombrero {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821)
- Si , son dos paquetes de vectores reales sobre una base común, entonces la clase de cohomología tiene orden como máximo dos.
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![\eta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64)
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a935ad8e67ed106dbf4b2c583780c72369c0ab)
- En particular, si el anillo de coeficientes contiene 1/2, entonces se cumple la igualdad .
![{\ estilo de visualización p (\ xi \ oplus \ eta) = p (\ xi) p (\ eta)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a85ee1206e950bd6913d4677bf245ee840b11)
- Las clases de Pontryagin con coeficientes racionales de dos variedades homeomorfas coinciden (teorema de S. P. Novikov )
- Hay un ejemplo que muestra que las clases enteras de Pontryagin no son invariantes topológicas.
- Para un paquete de 2k dimensiones , donde denota la clase de Euler .
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![{\displaystyle p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fe18167a8775581c5b94815f6842f9eb299b1b)
![{\ estilo de visualización e (\ xi)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb5b3ea959fd349c14d22bf15d2eed697110827)
Literatura
- Pontryagin L. S. “Mat. Sb., 1947, tomo 21, pág. 233-84;
- Novikov S. P. “Informe. Academia de Ciencias de la URSS, 1965, v. 163, p. 298-300;
- Milnor J. , Stashef J. Clases de características = Clases de características. — M .: Mir , 1979. — 371 p. - 6500 copias.