Método covariante

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El método covariante es un enfoque de física teórica desarrollado por F. I. Fedorov basado en álgebra lineal y cálculo tensorial directo . Se ha generalizado en la aplicación a la descripción de fenómenos ópticos y, en parte, en la física de partículas elementales.

La esencia del método

El método covariante es una formulación matemática concisa de teorías físicas utilizando álgebra tensorial. Los principales campos de aplicación del método son la óptica teórica y la acústica . El método covariante simplifica enormemente las engorrosas expresiones que aparecen al describir la propagación de campos en medios complejos ( anisotrópicos , girotrópicos , bianisotrópicos ). Con la ayuda de este método, se introduce una parametrización vectorial del grupo de Lorentz , conveniente en las aplicaciones, que se puede aplicar más en la teoría de partículas elementales .

En general, los campos electromagnéticos y acústicos se describen mediante vectores . Si el espacio en el que se propaga la onda tiene simetría , entonces el vector de campo y los tensores que describen el medio pueden especificarse por sus componentes en algún sistema de coordenadas , consistente con la simetría del sistema, que se usa generalmente en óptica y acústica. Sin embargo, los vectores y tensores se pueden escribir sin tener en cuenta el sistema de coordenadas, simplemente como objetos geométricos, que es lo que se usa en el método covariante. Por esta razón, el método covariante también se denomina sin coordenadas (al resolver el problema, no se especifica un sistema de coordenadas específico ). La descripción de la propagación de ondas en un cristal se reduce a realizar operaciones sobre tensores y vectores , para lo cual se han desarrollado métodos que simplifican el trabajo con tensores y utilizan explícitamente sus invariantes (en el espacio tridimensional para tensores de segunda valencia, estos son los trace , el determinante del tensor y el determinante del tensor mutuo ). Las simetrías de cristal en este enfoque se expresan como ciertas relaciones entre invariantes, y los tensores que describen el cristal tienen expresiones convenientes.

Tipos de tensores

Los principales tipos de tensores del espacio tridimensional utilizados en el método covariante son

es el tensor unitario , ${\textbf{1}}$

— operador de proyección en la dirección del vector unitario — díada , ${\textbf{n))$ ${\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}$

es un operador de proyección sobre un plano ortogonal al vector unitario , $I={\textbf {1}}-{\textbf {n}}\otimes {\textbf {n}}=-{\mathbf {n} ^{\times }}^{2}$ ${\textbf{n))$

es el tensor dual al vector : . ${\textbf {n}}^{\veces}$ $\matemáticas {n}$ ${\displaystyle \mathbf {n}_{ij}^{\times}=\epsilon_{ilj}n_{l))$

Los cristales ópticos pueden ser isotrópicos , uniaxiales o biaxiales . La anisotropía de los cristales está determinada por el tensor de permitividad , que se puede representar en forma axial:

1. medio isotrópico , $\varepsilon =\varepsilon {\textbf {1))$

2. cristal uniaxial (el vector establece la dirección del eje óptico ), $\varepsilon =\varepsilon _{1}{\textbf {1}}+(\varepsilon _{2}-\varepsilon _{1}){\textbf {c}}\otimes {\textbf {c} }$ ${\textbf{c))$

3. cristal biaxial . $\varepsilon =a{\textbf {1}}+b({\textbf {c}}'\otimes {\textbf {c}}''+{\textbf {c}}''\otimes {\ textobf{c}}')$

Los vectores que definen las direcciones de los ejes ópticos están completamente determinados en términos de los valores propios y ejes principales de los tensores correspondientes [1], [3], [4].

Parametrización de vectores del grupo de Lorentz

El grupo general de Lorentz se puede representar como un grupo de transformaciones de la forma ${\textbf {}}L$

$L=\left({\begin{matriz}{cc}\alpha &i{\textbf {u}}\\i{\textbf {v}}&k\end{matriz}}\right)$ ,

cumpliendo las condiciones , . La matriz de Lorentz se puede parametrizar mediante un vector complejo tridimensional y tiene la forma ${\textbf {}}(\det L)^{2}=1$ ${\textbf {}}LL^{T}=L^{T}L=1$ ${\textbf {}}L$ ${\textbf {q))$

$L={\frac {(1+{\textbf {q}}_{+})(1+{\textbf {q}}_{-}^{\ast})}{|1+{ \textbf{q}}^{2}|}}$ ,

donde y son matrices antisimétricas de cuatro dimensiones , que se asignan al vector tridimensional complejo . Las matrices anteriores están determinadas por el vector y su vector conjugado complejo , respectivamente, y son iguales a ${\textbf{q}}_{+}$ ${\textbf {q}}_{-}^{\ast}$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q))$ ${\textbf {q}}^{\ast}$

${\textbf {q}}_{+}=\left({\begin{array}{cc}{\textbf {q}}^{\times }&{\textbf {q}}\\- {\textbf {q}}&0\end{matriz}}\right),\qquad {\textbf {q}}_{-}^{\ast}=\left({\begin{matriz}{cc}{ \textbf {q}}^{\ast \times }&-{\textbf {q}}^{\ast }\\{\textbf {q}}^{\ast }&0\end{matriz}}\right )$ .

Para los parámetros vectoriales del grupo de Lorentz, es válida la siguiente ley de composición

${\textbf {q}}''={\frac ({\textbf {q}}+{\textbf {q}}'+{\textbf {q}}\times {\textbf {q}} '}{1-{\textbf {q}}{\textbf {q}}'}}$ .

La parametrización vectorial también se puede introducir para el grupo de rotación , y en este caso los parámetros vectoriales pertenecerán al espacio tridimensional real, y la ley de su composición será la misma.

Aplicación del método

El método covariante le permite realizar cálculos con vectores y tensores en su forma directa, sin recurrir a la notación de índice. En este caso, se logra la compacidad y simplicidad de las expresiones resultantes.

Por ejemplo, los criterios de polarización tienen la siguiente forma:

${\ estilo de visualización \ mathbf {E} ^ {2} = 0}$ - polarización circular

$[\mathbf {E} ,\mathbf {E} ^{*}]=0$ - polarización lineal

Existen varias variantes del criterio de polarización circular y lineal [3]. Si no se cumple ninguno de los criterios anteriores, estamos ante el caso general de polarización elíptica, y las dimensiones y orientación de los ejes de la elipse de polarización se obtienen de una forma mucho más compacta que en el sistema de coordenadas cartesianas [ 7].

Extras

Los empleados del Departamento de Física Teórica de la Universidad Estatal de Bielorrusia se dedican a la generalización del método covariante. Este método generalizado se denominó operador [6], ya que se basa en la aplicación de operadores de evolución que conectan campos en dos puntos del espacio. El método del operador es aplicable para describir sistemas en capas (incluidos aquellos con simetría cilíndrica y esférica ).
El método covariante se utilizó con éxito no solo en los trabajos de los físicos bielorrusos, sino también en los estudios de los empleados del Instituto de Cristalografía de la Academia de Ciencias de la URSS [1] [2] .

Véase también

Formas diferenciales en electromagnetismo

Notas

↑ Yu.I. Sirotin, MP Shaskolskaya. Fundamentos de la física de los cristales. - M.: Nauka, 1975.
↑ AF Konstantinova, B. N. Grechushnikov, B.V. Bokut, E.G. Valyashko. Propiedades ópticas de los cristales. - Minsk: Ciencia y tecnología, 1995.

Literatura

[1] F. I. Fiódorov. Óptica de medios anisotrópicos. - Minsk: De la Academia de Ciencias de la BSSR, 1958; 2ª ed. M.: URSS, 2004.
[2] F. I. Fiódorov. Teoría de ondas elásticas en cristales. - M.: Nauka, 1965; Nueva York: Plenum Press, 1968.
[3] F. I. Fiódorov. Teoría de la girotropía. - Minsk: Ciencia y tecnología, 1976.
[4] F. I. Fiódorov, V. V. Filippov. Reflexión y refracción de la luz por cristales transparentes. - Minsk: Ciencia y tecnología, 1976.
[5] F. I. Fiódorov. grupo Lorentz. - M.: Nauka, 1979; 2ª ed. M.: URSS, 2003.
[6] L. M. Barkovsky, A. N. pieles Métodos de operadores para describir campos ópticos en medios complejos. - Minsk: Ciencia bielorrusa, 2003.
[7] M. Born, E. Wolf Fundamentos de la óptica
[8] IS Res. Plagio sin precedentes en la teoría de las ondas electromagnéticas. - Cristal. Res. Tecnología, 1988, vol. 23, nº 4, K77-K79.