Grupo lorentz

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El grupo de Lorentz es un grupo de transformaciones de Lorentz del espacio de Minkowski que conservan el origen de coordenadas (es decir, son operadores lineales ) [1] .

El grupo de Lorentz consiste en transformaciones lineales homogéneas de las coordenadas espacio-temporales de cuatro dimensiones:

x_{\nu }'=\sum_{\mu }L_{\nu \mu }x_{\mu },

x_{0}=ct,\quad x_{1}=x,\quad x_{2}=y,\quad x_{3}=z,

que dejan invariante la forma cuadrática con firma (1, 3), que es una expresión matemática para un intervalo de cuatro dimensiones [2] . En particular, el grupo de Lorentz incluye rotaciones espaciales en tres planos , transformaciones de Lorentz , reflexiones de ejes espaciales : y todos sus productos. ${\displaystyle s^{2}=c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2))$ ${\ estilo de visualización xy, \ yz, \ zx}$ ${\ estilo de visualización xt, \ yt, \ zt}$ $x, y, z$ $x\to -x,\ y\to -y,\ z\to -z$

El grupo de Lorentz es un caso especial del grupo ortogonal indefinido [3] , y por lo tanto se denota (ya sea , que corresponde a una forma cuadrática con signos opuestos y coordenadas permutadas), o , y también [2] . ${\ estilo de visualización O (1,3)}$ ${\ estilo de visualización O (3,1)}$ $O(1,3;\mathbb {R} )$ $\mathrm {O} _{1,3}(\mathbb {R} )$ $\mathcal{L}$

Un grupo de Lorentz especial o grupo de Lorentz propio es un subgrupo de transformaciones cuyo determinante matricial es igual a 1 (en el caso general es igual a ±1). ${\ estilo de visualización SO (1,3)}$

Grupo de Lorentz ortocrónico (también denotado , y puede identificarse con el grupo ortogonal proyectivo (indefinido) ), grupo de Lorentz ortocrónico especial (o propio) - similar, pero todas las transformaciones conservan la dirección del futuro en el tiempo ( signo de coordenadas ). El grupo , el único de los cuatro, está conectado e isomorfo al grupo de Möbius . ${\ estilo de visualización O_ {\ flecha arriba} (1,3)}$ $\mathrm {O} _{1,3}^{+}(\mathbb {R} )$ $\mathrm {PO} _{1,3}(\mathbb {R} )$ ${\ Displaystyle SO_ {\ flecha arriba} (1,3)}$ $x^0$ ${\ Displaystyle SO_ {\ flecha arriba} (1,3)}$

A veces, la condición ortocrónica se incluye en la definición del grupo de Lorentz, en cuyo caso el grupo que involucra transformaciones que cambian la dirección del tiempo puede llamarse grupo general de Lorentz [4] [5] . A veces, el grupo de Lorentz también se entiende como el grupo de Lorentz ortocrónico propio [6] .

Representaciones del grupo de Lorentz

simetría en física
transformación	Invariancia correspondiente	La ley de conservación correspondiente
↕ Hora de emisión	Uniformidad de tiempo	…energía
⊠ C , P , CP y T - simetrías	Isotropía del tiempo	... paridad
↔ Espacio de difusión	Homogeneidad del espacio	…impulso
↺ Rotación del espacio	Isotropía del espacio	… impulso
⇆ Grupo Lorentz (impulsos)	Relatividad Covarianza de Lorentz	…movimientos del centro de masa
~ Transformación de calibre	Invariancia de calibre	... cobrar

Deje que una cantidad física (por ejemplo, un vector de energía-momento de cuatro dimensiones o un potencial de campo electromagnético) se describa mediante una función de coordenadas multicomponente . Al pasar de un marco de referencia inercial a otro, los componentes de una cantidad física se transforman linealmente entre sí: . En este caso, la matriz tiene un rango igual al número de componentes de la cantidad . Cada elemento del grupo de Lorentz corresponde a una transformación lineal , al elemento identidad del grupo de Lorentz (transformación idéntica) corresponde a una transformación unitaria , y al producto de dos elementos del grupo de Lorentz corresponde al producto de dos transformaciones . Un sistema de matrices con las propiedades enumeradas se denomina representación lineal del grupo de Lorentz. [7] ${\ Displaystyle U_ {\ alfa} (x)}$ $u_{\beta }'=\sum_{\alpha }\Lambda_{\beta \alpha }u_{\alpha }(x)$ $\lambda$ $\nu$ ${\ Displaystyle u_ {\ alfa}}$ $PAGS$ $\Lambda (P)$ $\lambda=1$ $P_1$ $P_2$ $\Lambda (P_{1}P_{2})=\Lambda (P_{1})\Lambda (P_{2})$

Las representaciones del grupo de Lorentz en espacios lineales complejos son muy importantes para la física, ya que están asociadas al concepto de espín . Todas las representaciones irreducibles del grupo ortocrónico especial de Lorentz se pueden construir utilizando espinores . ${\ Displaystyle SO_ {\ flecha arriba} (1,3)}$

Notas

↑ El producto semidirecto del grupo de Lorentz y el grupo de traslaciones paralelas del espacio de Minkowski se denomina grupo de Poincaré por razones históricas . Por otro lado, el grupo de Lorentz contiene como subgrupo al grupo de rotaciones del espacio tridimensional.
↑ 1 2 S. I. Azakov, V. P. Pavlov. Grupo Lorentz // Enciclopedia física : [en 5 volúmenes] / Cap. edición A. M. Projorov . - M . : Enciclopedia soviética (vol. 1-2); Gran Enciclopedia Rusa (vols. 3-5), 1988-1999. — ISBN 5-85270-034-7 .
↑ Brian C. Pasillo. Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental. — Springer, 2003. — Pág. 7.
↑ Gelfand, Minlos, Shapiro, 1958 , pág. 165-166.
↑ Shirkov, 1980 , pág. 146.
↑ Naber, 2012 , pág. 19
↑ Shirkov, 1980 , pág. 147.

Literatura

Gelfand I. M. , Minlos R. A. , Shapiro Z. Ya. Representaciones del grupo de rotación y el grupo de Lorentz. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 367 p.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometría moderna: métodos y aplicaciones. - M. : Nauka, 1986. - 760 p.
Lyubarsky G. Ya. Teoría de grupos y su aplicación en física. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 355 p.
Naimark M. A. Representaciones lineales del grupo de Lorentz. - M. : Fizmatgiz, 1958. - 376 p.
Isaev A.P., Rubakov V.A. Teoría de grupos y simetrías. grupos finales. Lie grupos y álgebras. - M. : URSS, 2018. - 491 p.
Grupo Fedorov F. I. Lorentz. - M. : Nauka, 1979. - 384 p. (Se presenta la parametrización vectorial del grupo de Lorentz y su aplicación)
Artín, Emily. Álgebra Geométrica . — Nueva York: Wiley, 1957. . Véase el Capítulo III para los grupos ortogonales O(p, q).
Carmeli, Moshé. Teoría de Grupos y Relatividad General, Representaciones del Grupo de Lorentz y sus Aplicaciones al Campo Gravitacional . — McGraw-Hill, Nueva York, 1977. . Una referencia canónica; véanse los capítulos 1-6 para las representaciones del grupo de Lorentz.
Frankel, Teodoro. La Geometría de la Física (2ª Ed.) (Inglés) . —Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge , 2004. . Un excelente recurso para la teoría de Lie, haces de fibras, cubiertas espinoriales y muchos otros temas.
Fulton, William; y Harris, Joe. Teoría de la representación : un primer curso . — Nueva York: Springer-Verlag , 1991. . Véase la lección 11 para las representaciones irreducibles de SL(2, C ).
Hall, GS Simetrías y estructura de curvatura en relatividad general . - Singapur: World Scientific , 2004. . Véase el Capítulo 6 para las subálgebras del álgebra de Lie del grupo de Lorentz.
Hatcher, Allen. Topología algebraica . -Cambridge: Cambridge University Press , 2002. . Véase también la versión en línea . Fecha de acceso: 3 de julio de 2005. Archivado desde el original el 20 de febrero de 2012. (indefinido) Vea la Sección 1.3 para una discusión hermosamente ilustrada de cubrir espacios. Consulte la Sección 3D para conocer la topología de los grupos de rotación.
Naber, Gregorio. La geometría del espacio-tiempo de Minkowski . — Nueva York: Springer , 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7 . . Una excelente referencia sobre el espacio-tiempo de Minkowski y el grupo de Lorentz.
Needham, Tristam. Análisis de complejos visuales . — Oxford: Prensa de la Universidad de Oxford , 1997. . Véase el Capítulo 3 para una discusión magníficamente ilustrada de las transformaciones de Möbius.
Shirkov DV Física del microcosmos. - M. : Enciclopedia soviética, 1980. - 527 p.

Véase también

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier