Matrices de conmutación

Se dice que dos matrices y conmutan (o conmutan ) si, o de manera equivalente, su conmutador es cero. Se dice que un conjunto de matrices conmuta si son permutables por pares, lo que significa que cualquier par de matrices en ese conjunto conmuta. $A$ $B$ ${\ estilo de visualización AB = BA}$ ${\ estilo de visualización [A, B] = AB-BA}$ ${\displaystyle A_{1},\ldots,A_{k))$

Descripción y propiedades

Las matrices conmutadas preservan los subespacios propios de cada una [1] . Como consecuencia, las matrices conmutativas sobre un campo algebraicamente cerrado son simultáneamente triangularizables , es decir, hay bases sobre las cuales las matrices se vuelven triangulares superiores . En otras palabras, si es permutable, existe una matriz de similitud tal que es triangular superior para todo . Lo contrario no siempre es cierto, como muestra el siguiente contraejemplo: ${\displaystyle A_{1},\ldots,A_{k))$ $PAGS$ $P^{-1}A_{i}P$ $i\in \{1,\ldots,k\}$

${\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3\\0&3\end{bmatrix }}\neq {\begin{bmatrix}1&5\\0&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{ bmatriz}}$

Sin embargo, si el cuadrado del conmutador de dos matrices es igual a cero, es decir , entonces se cumple lo contrario [2] .

{\ estilo de visualización [A, B] ^ {2} = 0}

Si las matrices y son simultáneamente diagonalizables , es decir, existe una matriz de semejanza tal que ambas son diagonales, entonces son permutables. Lo contrario no es necesariamente cierto ya que una de las matrices puede no ser diagonalizable, por ejemplo $A$ $B$ $PAGS$ $P^{-1}AP$ $P^{-1}BP$ $A$ $B$

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix }}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$ , pero no diagonalizable ${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

Sin embargo, si ambas matrices son diagonalizables, entonces pueden ser diagonalizables simultáneamente.

Si una de las matrices tiene la propiedad de que su polinomio mínimo coincide con el polinomio característico (es decir, tiene un grado máximo), lo que sucede, en particular, cuando el polinomio característico tiene solo raíces simples, entonces la segunda matriz se puede escribir como un polinomio en la primera matriz.
Como consecuencia directa de la triangularización simultánea, los valores propios de dos matrices complejas de permutación A y B con sus múltiplos algebraicos ( los conjuntos múltiples de las raíces de sus polinomios característicos) se pueden mapear de tal manera que los conjuntos de valores propios de cualquier polinomio de las dos matrices es un conjunto múltiple de valores . Este teorema se debe a Frobenius [3] . ${\displaystyle \alpha _{i}\leftrightarrow \beta _{i))$ ${\ estilo de visualización PAG (A, B)}$ ${\ estilo de visualización PAG (\ alfa _ {i}, \ beta _ {i})}$
Dos matrices hermitianas conmutan si sus subespacios propios son iguales. En particular, dos matrices hermitianas sin valores propios múltiples conmutan si sus conjuntos de vectores propios son iguales. Esto se sigue de considerar los valores propios de ambas matrices. Sean y dos matrices hermitianas. y tienen espacios propios comunes si se pueden escribir como y . también debería $A$ $B$ $A$ $B$ $A=U\Lambda_{1}U^{\daga}$ $B=U\Lambda_{2}U^{\daga}$

{\ Displaystyle AB = U \ Lambda _ {1} U ^ {\ daga} U \ Lambda _ {2} U ^ {\ daga} = U \ Lambda _ {1} \ Lambda _ {2} U ^ {\ daga }=U\Lambda _{2}\Lambda _{1}U^{\daga}=U\Lambda_{2}U^{\daga}U\Lambda_{1}U^{\daga}=BA .}

La propiedad de dos matrices de ser permutables no es transitiva: una matriz puede conmutar tanto con como con , pero las matrices tampoco conmutan entre sí. Como ejemplo, la matriz identidad conmuta con todas las demás matrices, que no siempre conmutan entre sí. Si el conjunto de matrices bajo consideración se restringe a matrices hermitianas sin valores propios múltiples, entonces la conmutatividad es transitiva, como consecuencia de la caracterización en términos de vectores propios. $A$ $B$ $C$ $B$ $C$
El teorema de Lie , que muestra que cualquier representación de un álgebra de Lie soluble es simultáneamente triangularizable a una triangular superior, puede verse como una generalización.
Una matriz conmuta con cualquier otra matriz si y solo si es una matriz escalar, es decir, una matriz de la forma , donde es la matriz identidad y es un escalar. $A$ ${\ estilo de visualización \ lambda \ cdot E}$ $mi$ $\lambda$

Ejemplos

La matriz identidad conmuta con todas las matrices.
Cualquier matriz diagonal conmuta con cualquier otra matriz diagonal [4] .

Las celdas de Jordan conmutan con matrices triangulares superiores que tienen los mismos valores en las diagonales.
Si el producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica, entonces estas matrices conmutan.

Historia

El concepto de conmutación (permutación) de matrices fue introducido por Cayley en sus memorias sobre la teoría de matrices, en las que también se da la axiomatización de matrices. El primer resultado probado esencial sobre la conmutación fue el resultado de Frobenius (1878) [5] presentado anteriormente .

Notas

↑ Horn, Johnson, 2012 , pág. 70.
↑ Horn, Johnson, 2012 , pág. 127.
↑ Frobenius, 1877 , pág. 1–63.
↑ ¿Las matrices diagonales siempre conmutan? . Stack Exchange (15 de marzo de 2016). Recuperado: 4 Agosto 2018. (indefinido)
↑ Drazin, 1951 , pág. 222–231.

Literatura

Roger A. Horn, Charles R. Johnson. análisis matricial. - Prensa de la Universidad de Cambridge, 2012. - ISBN 9780521839402 .
- Horn R., Johnson C. Análisis matricial. - M. : "Mir", 1989.
Frobenius G. Ueber lineare Substitutionen und bilineare Formen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1877. - T. 84 .
Drazin M. Algunas generalizaciones de la conmutatividad de matrices // Actas de la London Mathematical Society. - 1951. - Vol. 1 , número. 1 . -doi : 10.1112 / plms/s3-1.1.222 .