Cambiar (álgebra)

Un conmutador de operadores y en álgebra , así como en mecánica cuántica , es un operador . En general, no es igual a cero. La noción de conmutador también se extiende a álgebras asociativas arbitrarias (no necesariamente álgebras de operadores). En mecánica cuántica, el nombre de corchete cuántico de Poisson también se ha adherido al conmutador de operadores . ${\ sombrero {A}}$ ${\ sombrero B}$ $[{\sombrero A},{\sombrero B}]={\sombrero A}{\sombrero B}-{\sombrero B}{\sombrero A}$

Si el conmutador de dos operadores es igual a cero, entonces se les llama conmutantes, de lo contrario son no conmutantes.

Identidades con el conmutador

Anticonmutatividad : Esta identidad implica que para cualquier operador . $[A,B]=-[B,A].$ $[A,A]=0$ $A$

En álgebra asociativa , las siguientes identidades también son verdaderas:

${\ estilo de visualización [A, BC] = [A, B] C + B [A, C]}$ . Esta identidad es la regla de Leibniz para un operador , por lo que en álgebra un operador se denomina derivación intrínseca . El operador tiene una propiedad similar. $D_{A}=[A,\cdot].$ $D_{A}$ ${\tilde D}_{A}=[\cdot,A].$
Identidad de Jacobi : Un álgebra que satisface la identidad de Jacobi se llama álgebra de Lie . Así, de cualquier álgebra asociativa se puede obtener un álgebra de Lie si se define la multiplicación en el álgebra nueva como un conmutador de elementos del álgebra antigua. $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0.$
$[AB,C]+[BC,A]+[CA,B]=0.$ Esta identidad es otra notación de la identidad de Jacobi.
${\ estilo de visualización [AB, C] = A [B, C] + [A, C] B}$
$[ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC$
$[AB,CD]=A[B,CD]+[A,CD]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D ]B$
$[A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]$
$[A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]$
$[ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD$
$[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A], B],C]=[[A,C],[B,D]]$
$e^{A}Be^{-A}=B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{ 3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \equiv e^{\operatorname {anuncio} (A)}B.$ Esta fórmula es válida en álgebras donde se puede definir un exponente matricial, como en el álgebra de Banach o en el anillo de series de potencias formales . También juega un papel crucial en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos en la construcción de la teoría de la perturbación para los operadores en la representación de Heisenberg y en la representación de interacción .
$\ln \left(e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}\right)=[A,B]+{\frac {1}{2!} }[(A+B),[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left([A,[B,[B,A]]]]/2+[(A+ B ),[(A+B),[A,B]]]\right)+\cdots .$

El conmutador en la mecánica cuántica

Como es sabido, la medida física en mecánica cuántica corresponde a la acción del operador de una cantidad física sobre el vector de estado del sistema. Los llamados estados puros , en los que la cantidad física tiene un valor estrictamente definido, corresponden a vectores propios , mientras que el valor de la cantidad en un estado dado es el valor propio del vector de estado puro: ${\ sombrero F}$ $F$ ${\ sombrero F}$

{\sombrero {F}}\psi _{i}=f\psi _{i}

Si dos cantidades mecánicas cuánticas son medibles simultáneamente, entonces en estado puro ambas tendrán un cierto valor, es decir, los conjuntos de vectores propios de los operadores de cantidades coinciden. Pero luego conmutarán:

{\sombrero {F}}{\sombrero {G}}\psi _{i}=g{\sombrero {F}}\psi _{i}=gf\psi _{i}={\sombrero {G}}{\sombrero {F}}\psi _{i}

En consecuencia, los operadores de no conmutación corresponden a cantidades físicas que no tienen un valor definido al mismo tiempo. Un ejemplo típico son los operadores de cantidad de movimiento ( componentes de cantidad de movimiento) y la coordenada correspondiente (ver la relación de incertidumbre ). ${\sombrero p}_{x}=-i\hbar {\frac {\parcial }{\parcial x))$ ${\ sombrero x} = x$

Leyes de conservación

Los valores propios del hamiltoniano de un sistema cuántico son los valores de energía en estados estacionarios. Una consecuencia obvia de lo anterior es que una cantidad física cuyo operador conmuta con el hamiltoniano se puede medir simultáneamente con la energía del sistema. Sin embargo, en la mecánica cuántica, la energía adquiere un papel especial. De la ecuación de Schrödinger

i\hbar {\frac {\parcial \psi }{\parcial t))={\hat {H))\psi

y la definición de la derivada total del operador con respecto al tiempo

{\punto {{\sombrero f}}}={\sombrero {{\punto f}}}

se puede obtener una expresión para la derivada temporal total de una cantidad física, a saber:

{\dot {\hat {f))}={i \over \hbar }[{\hat {H)),{\hat {f))]+{\frac {\parcial {\hat { f))}{\t parcial))

Por lo tanto, si el operador de una cantidad física conmuta con el hamiltoniano, entonces esta cantidad no cambia con el tiempo . Esta relación es el análogo cuántico de la identidad

{\dot {f))={\mathcal {\{}}H,f{\mathcal {\}}}+{\frac {\f parcial}{\t parcial}}

de la mecánica clásica, donde {,} es el paréntesis de funciones de Poisson. De manera similar al caso clásico, expresa la presencia de ciertas simetrías en el sistema, generando integrales de movimiento . Es la propiedad de conservación bajo ciertas simetrías espaciales lo que subyace en la definición de muchos análogos cuánticos de cantidades clásicas, por ejemplo, el momento se define como una cantidad que se conserva durante todas las traslaciones del sistema, y el momento angular se define como una cantidad que se conserva durante las rotaciones.

Algunas relaciones de conmutación

Indiquemos los valores de algunos conmutadores comúnmente encontrados.

{\sombrero r}_{i},{\sombrero p}_{i},{\sombrero L}_{i}

es el operador de la i-ésima componente, respectivamente, del radio vector, momento y momento angular ; - delta de Kronecker ; es un pseudotensor de tercer rango absolutamente antisimétrico .

\delta _{{ij}}

e_{{ijk}}

[{\sombrero {r}}_{i},{\sombrero {p}}_{j}]=i\hbar \delta _{ij}

[{\sombrero {p)),f({\vec {r)))]=-i\hbar \nabla f

[{\sombrero {L}}_{i},{\sombrero {r}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\sombrero {r}}_{k}

[{\sombrero {L}}_{i},{\sombrero {p}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\sombrero {p}}_{k}

[{\sombrero {L}}_{i},{\sombrero {L}}_{j}]=i\hbar e_{ijk}{\sombrero {L}}_{k}

[{\sombrero L}^{2},{\sombrero L}_{i}]=0

Como regla general, las relaciones para el momento normalizado son necesarias: $\ {\sombrero L}_{j}=\hbar {\sombrero l}_{j}$

[{\sombrero {l}}_{i},{\sombrero {r}}_{j}]=ie_{ijk}{\sombrero {r}}_{k}

[{\sombrero {l}}_{i},{\sombrero {p}}_{j}]=ie_{ijk}{\sombrero {p}}_{k}

[{\sombrero {l}}_{i},{\sombrero {l}}_{j}]=ie_{ijk}{\sombrero {l}}_{k}

[{\sombrero l}^{2},{\sombrero l}_{i}]=0

Se puede ver a partir de estas relaciones que el momento angular de una partícula no se puede medir simultáneamente con sus coordenadas o momento. Además, excepto en el caso en que el momento sea igual a cero, sus diversos componentes no son medibles al mismo tiempo. Este momento angular es fundamentalmente diferente del momento y el radio vector, en los que los tres componentes se pueden determinar simultáneamente. Para el momento angular, solo puede medir su proyección sobre algún eje (generalmente ) y el cuadrado de su longitud. $z$

Álgebra de mentiras de cantidades físicas

El conmutador es el análogo cuántico del soporte de Poisson en la mecánica clásica . La operación de conmutador introduce la estructura de un álgebra de Lie en operadores (o elementos de un álgebra) , por lo que la multiplicación anticonmutativa en un álgebra de Lie también se denomina conmutador.

Cantidades no conmutadas

Las cantidades que no conmutan se denominan cantidades cuyo conmutador . $A$ $B$ $[A,B]=AB-BA\neq 0$

Dos cantidades físicas son medibles simultáneamente si y solo si sus operadores conmutan [1] .

Anticonmutador

El anticonmutador es un operador de simetrización sobre los elementos del anillo , que determina el grado de “anticonmutatividad” de la multiplicación en el anillo:

{\ estilo de visualización [x, y] _ {+}: = xy + yx}

La " multiplicación de Jordan " conmutativa se introduce a través del anticonmutador . El álgebra de Clifford siempre relaciona naturalmente el anticonmutador con la forma bilineal que lo define.

Ejemplos

El anticonmutador de un par de unidades imaginarias diferentes para cuaterniones es igual a cero.
Mediante el anticonmutador se determinan las matrices gamma de Dirac .

Literatura

Blokhintsev D. I. Fundamentos de la mecánica cuántica. - 5ª ed. — M.: Nauka, 1976. — 664 p.
Boum A. Mecánica cuántica: fundamentos y aplicaciones. — M.: Mir, 1990. — 720c.
Dirac P. Principios de la mecánica cuántica. - 2ª ed. — M.: Nauka, 1979. — 480 p.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 4ª. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Física Teórica ", Tomo III). - ISBN 5-02-014421-5 .

Véase también

Notas

↑ 3.7. Medida simultánea de diferentes magnitudes físicas . Consultado el 15 de abril de 2016. Archivado desde el original el 24 de abril de 2016. (indefinido)