Toro complejo

Un toro complejo es algún tipo de variedad compleja M cuya variedad suave subyacente es un toro en el sentido habitual (es decir, un producto directo de algún número N de círculos ). Aquí N debe ser un número par 2 n , donde n es la dimensión compleja de la variedad M .

Todas estas estructuras complejas se pueden obtener de la siguiente manera: tome una red en C n , que se considera como un espacio vectorial real. Entonces el grupo de factores $\lambda$

{\ estilo de visualización \ mathbf {C} ^ {n}/\ Lambda}

es una variedad compleja compacta . Todos los toros complejos, hasta los isomorfismos, se obtienen de esta forma. Para n = 1, esta será la construcción clásica de curvas elípticas basadas en la red periódica . Para n > 1, Bernhard Riemann encontró condiciones necesarias y suficientes para que un toro complejo fuera una variedad abeliana . Si son variedades, se pueden incrustar en un espacio proyectivo complejo y son variedades abelianas .

Las incrustaciones proyectivas reales son complejas (ver ecuación que define una variedad abeliana ) cuando n > 1 y, de hecho, coinciden con la teoría de funciones theta de varias variables complejas (con un módulo fijo). No hay nada más fácil que describir una curva cúbica para n = 1. El álgebra computacional puede tratar casos de n pequeña con relativa precisión. Según el teorema de Chow , ningún toro que no sea una variedad abeliana puede "colocarse" en un espacio proyectivo .

Véase también

Grupo Mentira Compleja

Notas

Literatura

Christina Birkenhake, Herbert Lange. toros complejos. - Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1999. - V. 177. - (Progreso en Matemáticas). - ISBN 978-0-8176-4103-0 .